Линейная зависимость и независимость векторов. Разложение вектора по базису

Из данного материала Вы научитесь раскладывать вектор по базису, проверять векторы на линейную независимость, находить размерность пространства. Начнем изучать с самого основного.

Пусть нам задано векторыиз — мерного векторного пространства, а также некоторые действительные числаа

Вектор

называется линейной комбинацией векторов

Векторы бывают линейно зависимыми или независимыми. Эти свойства определяют на основе следующих правил:

1) Векторы называются линейно зависимыми, если найдутся такие действительные числа одновременно не равны нулю, при которых подтверждается равенство

2) Если равенство

выполняется только при условии, что

тогда векторы называются линейно независимыми.

На практике линейную независимость векторов проверяют из условия, что определитель составленный из координат векторов отличен от нуля. Для прибора, если есть три вектора из пространства, то для подтверждения их линейной независимости определитель

не должно быть равен нулю. В противном случае векторы будут линейно зависимыми.

Из свойств определителей следует, что векторы будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией других или нулевым.

Размерность пространства — это максимальное количество линейно независимых векторовкоторое может быть в нем. Любую совокупность линейно независимых векторов— мерного линейного пространства называют его базисом.

Каждый вектор из единственным способом может быть изображен в виде линейной комбинации векторов базиса. Если — базис линейного пространства , то — разложение вектора по базису ,

-координаты вектора в этом базисе.

Задачи разложения вектора занимают важное место в курс высшей математики, и нужны не меньше отыскания базиса линейного пространства.

————————————

Алгоритм разложения вектора по базису

1. Записать равенство в матричной форме. Векторы представить в виде матриц-столбцов.

2. Матричное уравнение записать в виде системы линейных алгебраических уравнений. Решить полученную систему.

3.Записать расписание вектора по базису .

Для этого в равенство

вместо подставить решения системы уравнений.

———————————-

Задача 1.

Записать разложение вектора по базису

Решение.

Воспользуемся формулой разложения вектора

Данное уравнение записываем в виде системы линейных уравнений

Решением этой системы

Полученные значения подставляем в уравнение разложения, в результате получим — расписание вектора в базисе

Как видите вычисления не сложные, приведена инструкция поможет Вам решить подобные задачи.

———————————————-

Посмотреть материалы:

Ссылка на основную публикацию