18. Векторное и смешанное произведение векторов

Определители очень полезны не только для решения симстем уравнений, но и при изучении очень многих других вопросов. Так, с помощью определителей можем вычислить векторное произведение двух векторов, заданных своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат. Соответственно, можем использовать их в решении различных физических задач для определения моментов силы, инерции и т.д., в электричестве. Также легко вычислять площадь параллелограмма, зная координаты трех его вершин.

Определение. Векторным произведением векторов {bf a} и {bf b}, угол между которыми равен varphi, называется вектор, модуль которого равен |{bf a}||{bf b}|sinvarphi, перпендикулярный плоскости векторов {bf a},{bf b}, направленный так, чтобы тройка векторов {bf a},{bf b},{bf a}times {bf b} была правой (если смотреть с конца третьего вектора, кратчайший поворот от первого ко второму должен происходить против часовой стрелки).

Обозначение. [{bf a},{bf b}] или {bf a}times {bf b}.

Свойства векторного произведения

1. {bf a}times {bf b}=-{bf b}times {bf a}.

2. {bf a}times({bf b}+{bf c})={bf a}times {bf b}+{bf a}times {bf c}.

3. lambda({bf a}times {bf c})=(lambda {bf a})times {bf c}={bf a}times(lambda {bf c}).

4. Пусть вектора имеют координаты (a_1,a_2,a_3) и (b_1,b_2,b_3) в прямоугольной системе координат. Тогда их векторное произведение — вектор

    [left|begin{array}{ccc} {bf i}&{bf j}&{bf k}\ a_1&a_2&a_3\ b_1&b_2&b_3 end{array}right|={bf i}left|begin{array}{cc} a_2&a_3\ b_2&b_3 end{array}right|-{bf j}left|begin{array}{cc} a_1&a_3\ b_1&b_3 end{array}right|+{bf k}left|begin{array}{cc} a_1&a_2\ b_1&b_2 end{array}right|.]

(Равенство проверяется непосредственно).

С помощью определителей можем легко вычислить ориентированный объем — смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в декартовой прямоугольной системе координат. Таким образом, легко сможем найти объем параллелепипеда, если известны координаты его вершин.

Определение. Смешанным произведением векторов {bf a},{bf b},{bf c} называется

    [V({bf a},{bf b},{bf c})=({bf a},[{bf b},{bf c}]).]

Обозначение. V({bf a},{bf b},{bf c}) либо ({bf a},{bf b},{bf c}).

Свойства смешанного произведения

1.

    [begin{array}{l} ({bf a},{bf b},{bf c})=({bf b},{bf c},{bf a})=({bf c},{bf a},{bf b}) =\ =-({bf b},{bf a},{bf c})=-({bf c},{bf b},{bf a})=- ({bf a},{bf c},{bf b}). end{array}]

2. ({bf a},{bf c},{bf b}) тогда и только тогда, когда векторы {bf a},{bf b} и {bf c} линейно зависимы.

3. Смешанное произведение численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах {bf a},{bf b} и {bf c}, взятому со знаком плюс, если тройка {bf a},{bf b},{bf c} ориентирована так же, как тройка координатных векторов {bf i},{bf j},{bf k} и со знаком минус в противоположном случае.

4. Если векторы {bf a},{bf b},{bf c} имеют координаты (a_1,a_2,a_3),(b_1,b_2,b_3),(c_1,c_2,c_3) соответственно в прямоугольной системе координат, то

    [V({bf a},{bf b},{bf c})=left|begin{array}{ccc} a_1&a_2&a_3\ b_1&b_2&b_3\ c_1&c_2&c_3 end{array}right|.]

Задачи.

1. Найдите векторное произведение векторов, если

    [{bf a}=(3,-1,2), {bf b}=(2,-3,-5) .]

2. Упростите выражение

    [[{bf a}+{bf b},{bf a}-{bf b}] .]

3. Найдите смешанное произведение векторов, если

    [{bf a}=(1,-1,1), {bf b}=(7,3,-5), {bf c}=(-2,1,-2).]

4. Найдите объем треугольной призмы, основание которой построено на векторах {bf a} и {bf b}, а боковое ребро совпадает с вектором {bf c}.

Ссылка на основную публикацию