15. Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением двух векторов {bf x} и {bf y} называется число ({bf x},{bf y}), причем выполнены условия:
1. ({bf x},{bf y})=({bf y},{bf x});
2. ({bf x}_1+{bf x}_2,{bf y})=({bf x}_1,{bf y})+({bf x}_2,{bf y});
3. (alpha {bf x},{bf y})=alpha({bf x},{bf y})
для любого alphainmathbb{R}.

Если {bf x}nemathbb{O}, то ({bf x},{bf x})>0.

Векторное пространство с введенным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Определение. Векторы {bf x} и {bf y} называются ортогональными, если ({bf x},{bf y})=0.

Определение. Базис (или система векторов) {bf e}_1,{bf e}_2,ldots,{bf e}_n называется ортонормированным, если

    [({bf e}_i,{bf e}_j)=left{begin{array}{lll} 1,&mbox{rm если}&i=j,\ 0,&mbox{rm если}&ine j. end{array}right.]

Определение. Матрицей Грама векторов {bf a}_1,{bf a}_2,ldots,{bf a}_k евклидова пространства называется матрица

    [left(begin{array}{cccc} ({bf a}_1,{bf a}_1)&({bf a}_1,{bf a}_2)&ldots&({bf a}_1,{bf a}_k)\ ({bf a}_2,{bf a}_1)&({bf a}_2,{bf a}_2)&ldots&({bf a}_2,{bf a}_k)\ ldots&&&\ ({bf a}_k,{bf a}_1)&({bf a}_k,{bf a}_2)&ldots&({bf a}_k,{bf a}_k) end{array}right) .]

Задачи.

1. Докажите, что скалярное произведение двух любых векторов

    [{bf x}=(x_1,x_2,x_3), {bf y}=(y_1,y_2,y_3)]

тогда и только тогда выражается равенством

    [({bf x},{bf y})=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3,]

когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормированным.

2. Докажите, что любая система попарно ортогональных ненулевых векторов, не содержащая нулевого вектора (в частности, любая ортонормированная система) линейно независима.

3. Докажите неравенство Коши-Буняковского

    [({bf x},{bf y})^2le({bf x},{bf x})({bf y},{bf y})]

Для любых векторов {bf x} и {bf y} евклидова пространства, причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.

4. Найдите скалярное произведение векторов {bf x}=(1,2,3) и {bf y}=(-1,0,-2), координаты которых даны в базисе {bf e}_1=(2,1,0), {bf e}_2=(3,2,1), {bf e}_3=(0,1,1). (Координаты векторов {bf e}_1,{bf e}_2,{bf e}_3 заданы в некотором ортонормированном базисе).

Ссылка на основную публикацию