Задания на составление уравнений

Текстовые задачи, целью которых является познакомить с методикой составления уравнений и их решения взяты из «Тестовых заданий для поступающих«. Задачи соответствуют среднему уровню сложности и будут полезными, как для школьников 8, 9 классов так и абитуриентов. Первым могут понадобиться при обучении как подсказка к самостоятельным и контрольным работам. Студентам и абитуриентам для восстановления школьных знаний на тему «составления уравнений к текстовым задачам«. Не забываем и о родителях, им такие задачи в первую очередь помогут вспомнить школьные годы и помогут контролировать обучения детей.
Задача 1. В сосуде есть 20% -й раствор соли. Сколько килограммов дистиллированной воды надо добавить к 20 килограмм раствора, чтобы концентрация раствора уменьшилась до 10%-го?
Решение:
Примеры на растворы тяжело даются многим школьникам, поэтому хорошо запомните схему решения и применяйте в подобных заданиях.
На первом шаге нужно установить сколько соли есть в растворе
20*20%/100%=4 кг.
При добавлении воды это количество составит всего 10% от раствора. Составим пропорцию из этого условия
4 кг – 10%
Х – 100%
.
Перекрестным умножением находим количество нового раствора
Х=100*4/10=40 (кг).
От найденной массы вычитаем массу 20% раствора
40-20=20 (кг).
Искомая масса дистиллированной воды равна 20 кг.
Ответ: 20 кг воды.

 

Задача 2. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие — 12%. Сколько килограммов сухих грибов получено с 66 кг свежих?
Решение:
Уравнение составим по схеме предыдущего примера. Для этого сначала определим сколько 100% сухой массы в свежих грибах
66*(100-90)/100=6,6 кг.
Эта масса в сухих грибах составляет
(100-12)%=88%.

Полная масса сухих грибов определяется из пропорции
6,6 – 88%
Х – 100%.

Находим неизвестную массу сухих грибов
6,6*100/88=7,5 (кг).
С 66 кг свежих грибов можно получить 7,5 кг сухих.
Ответ: 7,5 кг.

 

Задача 3. Две бригады могут выполнить всю работу, работая вместе за 12 дней. Если первая бригада будет работать сама 6 дней, а затем сразу приступит к работе вторая то для окончания работы им нужно будет еще 8 дней. За сколько дней выполнит работу первая бригада, работая самостоятельно?
Решение:
Составить уравнение для данной задачи нужно исходя из следующих размышлений. Пусть А — производительность первой бригады, В — второй бригады.
С первого условия составляем уравнения совместной роботы двух бригад
12*(A+B)=100%.
Со второго получим следующее уравнение
6*A+8*(A+B)=100%
или
14*A+8*B=100%.
Нужно подобрать такие множители, чтобы при вычитании из 1 уравнение 2, или наоборот слагаемые с В стали равными 0. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3 — в результате получим
24*A+24*B=200%;
42*A+24*B=300%.

Вычтем из второго уравнения 1
18*A=100%.
Поскольку справа получили 100% — полную работу то слева имеем не что иное как количество дней (18) умноженное на производительность первой бригады.
Ответ: 18 дней.

 

Задача 4. Сумма числа сторон выпуклого многоугольника и количества его диагоналей 10. Определить количество сторон многоугольника..
Решение:
Начнем с рассмотрения треугольника — он имеет 3 стороны и не имеет диагоналей.
Четырехугольник имеет 4 стороны и две диагонали, в сумме 4 + 2 = 6.
Пятиугольник — 5 сторон +5 диагоналей = 10.
Итак искомым многоугольником является пятиугольник.

Задача 5. Если к трехзначному числу слева дописать цифру 8 и к образованному четырехзначному числу добавить 619, то сумма будет в 40 раз больше трехзначного. Найдите трехзначное число.
Решение:
Составить уравнение к задаче о числах достаточно легко. Данный пример можно описать следующей зависимостью
8ABC+619=40*ABC.
А вот решать уравнения следует из единиц то есть с конца. Если число умножить на 40 то оно точно будет заканчиваться на 0 т.е. иметь десятки.
Отсюда имеем 1 уравнение
C+9=10;
C=10-9=1.

Одно значение нашли, составим 2 уравнения
BC+19=B*10+1+19=40*C=40.
Из уравнения вычисляем 2 число
10*B=40-20=20;
B=20/10=2.

Поскольку число 4 цифровое, то 3 уравнения можно записать так
8=4*A.
Последнее из неизвестных чисел равно
A=8/4=2,
трехзначное число равно 221.
Ответ:
искомое число 221.

 

Задача 6. Из двух растворов соли — 10% -го и 15% -го надо образовать 40 грамм 12% -го раствора. Сколько граммов нужно взять 10% -го раствора?
Решение:
Задачу на растворы решить можно по приведенной выше методике. Составим отдельно уравнения на концентрат и на содержание воды в растворе. Для этого сначала вычислим сколько каждого вещества есть в 40 граммах конечного раствора.
40*12/100=4,8 (грамм соли);
40-4,8=35,2 (грамм воды).

Теперь обозначим первый раствор через X, второй — Y. Составим уравнение
X*10/100+Y*15/100=4,8
X*(100-10)/100+Y*(100-15)/100=35,2

или при деление в виде
0,1*X+0,15*Y=4,8
0,9*X+0,85*Y=35,2 .

Так как нужно найти первый раствор то второе уравнение умножим на 1,5 и вычтем первое * 8,5. Сгруппируем слагаемые и найдем количество раствора
(0,9*1,5-0,1*8,5)*X=35,2*1,5-4,8*8,5;
(1,35-0,85)*X=0,5*X=52,8-40,8=12;
X=12/0,5=24 (грамм).

Ответ: нужно взять 24 грамма 10% -го раствора.

 

Задача 7. По кругу длина которого 900 метров движутся два тела в одном направлении. Через каждые 30 минут они встречаются. Определить скорость (в м/мин) второго тела если скорость первого в 1,5 раза больше, чем скорость другого.
Решение:
Задача на движение по кругу требует особого внимания и представление, как все может происходить. Вся суть задачи лежит в фразе «Через каждые 30 минут они встречаются», это значит что быстрое тело с момента встречи проходит полный круг (900 метров) и часть второго круга, медленное только часть круга до встречи с первым телом. Нужно найти скорость медленного тела, поэтому ее и обозначаем через неизвестную V.
Составляем уравнение к задаче
1,5*V*30-900=V*30.
Оно показывает что за 30 минут первое тело проходит на 900 метров больше чем второе. Одновременно уравнение содержит лишь 1 неизвестную, что хорошо упрощает время его решения
(45-30)*V=900;
V=900/15=60 (м/мин)
.
Ответ: скорость равна 60 м/мин.

Ссылка на основную публикацию