Условие совместности СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли

Установить, совместна ли система линейных уравнений, с помощью
теоремы Кронекера-Капелли часто можно быстрее, чем с помощью метода Гаусса, когда
требуется последовательно исключать неизвестные. Основана эта теорема на
использовании ранга матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда,
когда ранг матрицы этой системы равен рангу её расширенной матрицы, то есть
чтобы
.

Здесь матрица A (матрица системы) — это матрица, составленная
из коэффициентов при неизвестных:

В свою очередь матрица В (расширенная матрица) — это
матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца из свободных членов:

Ранги этих матриц связаны неравенством ,
при этом ранг матрицы В может быть лишь на одну единицу больше ранга матрицы
A.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли о числе решений.
Пусть для системы m
линейных уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, то есть
ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда верно следующее.

  • Если ранг матрицы равен числу неизвестных (),
    то система имеет единственное решение.
  • Если ранг матрицы системы меньше числа
    неизвестных (),
    то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым n — r
    неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся r
    неизвестных определятся уже единственным образом.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений,
то есть ,
то система совместна при любых свободных членах. В этом случае ранг расширенной матрицы
также равен m, так как ранг матрицы не может быть больше числа её строчек.

В ходе доказательства теоремы Кронекера-Капелли были получены явные
формулы для решений системы (в случае её совместности). Если уже известно, что система
совместна, то, чтобы найти её решения, необходимо:

1) отыскать в матрице системы A ранга
отличный от нуля минор порядка, равного рангу матрицы системы, то есть ранга r;

2) отбросить те уравнения, которые соответствуют строкам матрицы
A, не входящим в минор ;

3) члены с коэффициентами, не входящими в ,
перенести в правую часть, а затем, придавая неизвестным, находящимся в правой части,
произвольные значения, определить по формулам Крамера оставшиеся r неизвестных
из системы r уравнений с отличным от нуля определителем .

Пример 1. Следуя теореме Кронекера-Капелли,
установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы и ранг расширенной
матрицы. В обоих случаях он равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна.
Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно
много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. Минор

отличен от нуля, поэтому последнее уравнение отбрасываем и
неизвестному
придаём произвольное значение .

Оставшиеся неизвестные определяются из системы

Решая последнюю систему по формулам Крамера или иным способом,
находим

,

,

.

Присоединяя сюда ,
получаем все решения данной системы линейных уравнений.

Пример 2. Следуя теореме Кронекера-Капелли,
установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы:

.

Следовательно, ранг системы равен 3. Определим ранг расширенной матрицы:

.

Это означает, что ранг расширенной матрицы также равен 3.
Следовательно, система совместна, а так как число неизвестных равно рангу матрицы
системы, то она имеет единственное решение. Для решения можем использовать первые три
уравнения:

Решая последнюю систему по формулам Крамера, находим

,

,

.

Поделиться с друзьями

Ссылка на основную публикацию