Решение задач составлением уравнений

Задания на составление уравнений к текстовым задачам взяты из сборника «Тестовые задания для поступающих. Математика» (стр. 83) изданного в 2001 году Волынским государственным университетом имени Леси Украинки. Условия задач соответствуют уровню повышенной сложности, поэтому схемы построения уравнений и вычисления неизвестных величин будут полезны как для школьников 8, 9 классов, так и для студентов. Приведенные задачи на составление уравнений помогут лучше подготовиться к самостоятельной, контрольной работе, некоторым к олимпиаде.

Задача 1. Найти трехзначное число зная, что число его десятков является средним геометрическим числа сотен и единиц. Если в записи числа поменять местами цифры сотен и единиц и отнять добытое таким образом трехзначное число от искомого то разница равна 297.
Решение:
Важным условием данной задачи на составление уравнений является то, что число десятков является средним геометрическим сотен и единиц.
Обозначим число через abc.
Тогда a*c=b*b.
Поскольку цифры в числах берем от 0 до 9 то таких трехзначных чисел, удовлетворяющих условие на среднее геометрическое соседних не так и много, а именно 5
111, 124, 421, 139, 931.
Осталось выбрать среди них такую пару, числа которых переставлены и разница равна 297. После нескольких попыток получим
421-124=297.
Итак методом исключения нашли что искомое число равно 421.
Если же составлять уравнения то получим следующие
a*c=b*b;
100*a+10*b+c-100*c-10*b-a=297.

Если расписать 2 уравнения и рассмотреть все возможные варианты то можно прийти к найденному выше трехзначному числа. Вычислений при этом гораздо больше.
Так что по возможности используйте все имеющиеся знания и логику.

 

Задача 2. Искомое трехзначное число заканчивается цифрой 1. Если ее вытереть и потом ее же приписать как первую цифру числа то образованное новое трехзначное число будет меньше искомого на . Найти это число.
Решение:
Согласно свойствам логарифма превратим число

Запишем искомое трехзначное число в виде ab1. Тогда по условию составляем уравнение
ab1-1ab=90.
Распишем уравнения в виде
100*a+10*b+1-100-10*a-b=10*9.

Приравниваем числа 0 порядке
1-b=0; b=1.

Исходное уравнение упростится к виду
100*a+10*(1-a)-100=90;
90*a-90=90;
90*a=180;
a=180/90=2.

Итак искомое трехзначное число равно 211.
Выполним проверку
211-121=90.
Получили правильное решение.
Ответ: 211.

 

Задача 3. Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и третий работая вместе могут выполнять всю работу за 7,5 часов; первый, третий и пятый разом — за 5 часов; первый, третий и четвертый разом — за 6 часов; а второй, четвертый и пятый разом — за 4 часа. За сколько часов выполнят эту работу все пять человек, работая вместе?
Решение:
Задание на первый взгляд сложное и неизвестно как составить уравнение к задаче. Однако выход всегда есть, обозначим работу через A, а производительность каждого из рабочих через a, b, c, d, f.
Составим уравнения по заданному условию
(a+b+c)*7,5=A;
(a+c+f)*5=A;
(a+c+d)*6=A;
(b+d+f)*4=A.
Есть 5 неизвестных и 4 уравнения, не хватает одного уравнения, возможно уравнения являются линейной комбинацией заданных. Представим записи уравнений в таком виде, что слева будет производительность группы работников, а справа часть проделанной работы
a+b+c+0+0=A/7,5;
a+0+c+0+f=A/5;
a+0+c+d+0=A/6;
0+b+0+d+f=A/4.

Если взглянуть на запись системы уравнений то можно увидеть, что если к первым трем уравнениям добавить последнее умноженное на 2, то слева получим производительность бригады умноженную на постоянную, т.е.
3*(a+b+c+d+f)=A(1/7,5+1/5+1/6+1/4).
Если свести правую сторону к общему знаменателю и просуммировать — получим единицу
3*(a+b+c+d+f)=A.
Теперь посмотрите на начальные уравнения и вопрос к задаче. Множитель 3 перед производительностью всей группы и является искомым числом дней. Используйте приведенную схему анализа в подобных задачах, хорошо анализируйте образовавшуюся систему уравнений — это позволит быстро получить верный результат.
Ответ: 3 дня.

 

Задача 4. Соревнуются три бригады лесорубов. Первая и третья бригады обработали древесины в два раза больше чем вторая, а вторая и третья — в три раза больше чем первая. Какая бригада вышла победителем в этом соревновании? (В ответе указать номер бригады).
Решение:
Имеем задания на работу. Обозначим бригады с помощью латинских букв — a, b, c. Составим систему линейных уравнений в соответствии с условием
a+c=2*b;
b+c=3*a
.
Из второго уравнения выразим a, решим 1 уравнение относительно c предположив что b известна
a=(b+c)/3;
(b+c)/3+c=2*b.

Умножим на 3 и упростим
b+c+3*c=6*b;
4*c=5*b;
c=5/4*b;
a=(b+c)/3=(4+5)/12*b=3*b/4.

Итак производительность трех бригад можно записать в отношении
a:b:c=3/4:1:5/4.
Итак — победила третья бригада (с).

 

Задача 5. Если двузначное число разделить на некоторое натуральное число то в части получим 3 и в остатка 8. Если в деленному поменять местами цифры, а делитель оставить начальным то в части получим 2, а в остатке 5. Найти начальное значение делимого.
Решение:
Обозначим двузначное число в виде ab. По условию составим уравнение
10*a+b=3*N+8;
10*b+a=2*N+5.

Поскольку в остатка 8 то натуральное число N должно быть не менее 9. Чтобы избавиться N от 1 уравнение умноженного на 2 вычтем 2 умноженное на 3. В результате получим
20*a+2*b=6*N+16;
30*b+3*a=6*N+15.
Их разница
17*a-27*b=1.

Выразим одну неизвестную через вторую
a=(27*b+1)/17.
Перебором одной переменной при b = 3 получим
a=(27*3+1)/17=5.
неизвестную a = 5, следовательно искомое число равно 53. Выполним проверку
(53-8)/3=15;
2*15+5=35.
Итак задача решена правильно.
Ответ: делимое равно 53.

 

Задача 6. Если искомое двузначное число, записанное различными цифрами увеличить на 46 то получится число, произведение цифр которого равно 6. Найти это число при условии что сумма его цифр равна 14.
Решение:
Составить уравнение к задаче можно в несколько строк
ab+46=cdf;
a+b=14. c*d*f=6.

Последнее условие сужает поиск числа к минимуму. Произведение равно 6 означает что в число входят 1, 2, 3 однократно то есть только числа 123, 213, 321, 132.
Осталось определить, какое из них при вычитании 46 даст число, сумма цифр которого равна 14. Взяв первое из них получим
123-46=77.

Сумма цифр 7+7=14, что и нужно было найти.
Ответ: двузначное число равно 77.

 

Задача 7. Если искомое двузначное число увеличить на 50 то получим число, произведение цифр которого равно 7. Найти это число при условии что сумма его цифр равна 13.
Решение:
Задача близка по схеме вычислений к предыдущему примеру. Из условия нужно сузить количество возможных ответов и через составленное уравнение выбрать правильную. Начнем с составления уравнений
ab+50=cdf;
a+b=13.
c*d*f=7.

Поскольку ab является двузначным то при добавлении к нему 50 получим трехзначное число, точно начинается с единицы. То есть два варианта — либо 117, либо 171. Если от 171 отнять 50 — получим трехзначное число, а значит не двузначное, как нам нужно. Так что единственным решением задачи является 117.
Давайте убедимся в этом подстановкой
117-50=67;
6+7=13
.
Итак 67 и является искомым двузначным числом.

 

Задача 8. Сравнивая два бруска, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда выяснили что длина, ширина и высота второго бруска соответственно на 1 см больше чем первого бруска, а объем и полная поверхность второго бруска соответственно на 18 см3 и 30 см2 больше чем первого. Какая полная поверхность первого бруска (у см2)?
Решение:
Обозначим стороны бруска через a, b, c.
При увеличении их на 1 см получим a+1, b+1, c+1.
Составим уравнение к задаче
Равнение на объем
(a+1)(b+1)(c+1)=a*b*c+18=V+18.
Равнение на площадь поверхности
2*a*b+2*b*c+2*a*c=S 2*(a+1)(b+1)+ 2*(b+1)*(c+1)+2*(a+1)*(c+1)=S+30.

Если расписать уравнения площади и упростить его то получим
4*(a+b+c)=30-6=24
упрощенное уравнение объема умноженное на 2
2*(a*b+b*c+a*c)+2(a+b+c)+2=18*2
.
В формулах последнее можно записать в виде
2*S+24/2=18*2-2=17*2.

Отсюда находим неизвестную площадь
S=17-24/4=17-6=11 (сантиметров квадратных).
Можем вывести готовую формулу из прироста площади и объема
S=dV-1+(dS-6)/4.

Она справедлива если стороны брусков отличаются на единицу
Ответ: S=11 сантиметров квадратных.

Ссылка на основную публикацию