Решение примеров на составление уравнений

В программе за 9, 10 класс по математике примеры на сложение уравнений многим школьникам даются тяжело. Подобная ситуация возникает при поступлении в ВУЗы, тестировании и т. п. Ниже приведены решения распространенных примеров на сложение уравнений. Они взяты из «Тестовых заданий для поступающих» выданных в 2001 году Волынским государственным университетом имени Леси Украинки. Задания остаются актуальными и раскрывают широкий класс различных методик и подходов к вычислениям.

Примеры на составление уравнений

Пример 1. По течению реки катер прошел за 7 часов такое расстояние, которое он проходит за 8 часов, двигаясь против течения. Найти скорость течения реки если скорость катера в стоячей воде равна 30 км/час.
Решение:
Составить уравнение к задаче не так и сложно. Обозначим скорость течения через V, скорость лодки равна 30 км/час. Можно составить одно уравнение из условия задания
(30+V)*7=(30-V)*8,
а можно путь обозначить через S и получить 2 уравнения
(30+V)*7=S;
(30-V)*8=S.

В каждом из случаев придется решать одинаковое уравнения. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые
7*V+8*V=30*8-30*7.
В результате устанавливаем скорость течения реки
15*V=30; V=30/15=2 (км/час)
.
Ответ: скорость катера 2 км/час.

 

Пример 2. Байдарка и моторная лодка отплывают одновременно навстречу друг другу вдоль берега водохранилища из пунктов А и В, расстояние между которыми 60 км и встречаются через 1 час 30 мин с момента отплытия. Если они продолжат движение из неизменными скоростями то лодка прибудет в А на 4 часа раньше байдарки. Найти скорость байдарки (в км/час).
Решение:
Довольно интересная задача на составление уравнения. Есть 3 неизвестных — скорость лодки V1, байдарки V2, t — время движения байдарки. Проанализируем условие и составим уравнения. В первом условии главным является не то, что они плывут навстречу, а то что расстояние в 60 км они проходят за 1 час 30 мин (1,5 часов). Первое уравнение такое
(V1+V2)*1,5=60.
Далее многие из Вас записали бы уравнение
V1*(t-4)=V2*t.
Оно правильное, но имеем два уравнения и три неизвестных. Необходимо дополнительное условие, которое связывает неизвестные. Главное здесь не время за которое они проплывают, а фиксированное расстояние в 60 км. Лодка проплывает ее скорее байдарку на 4 часа — из этого условия формируем 2 уравнения
V1*(t-4)=60;
V2*t=60.

Если решить систему уравнений то получим 2 набора решений
V1=-20;
V2=60;
t=1

та
V1=30;
V2=10;
t=6.

Легко догадаться, что только второй является верным. Отсюда скорость байдарки равна 6 км/час.

 

Пример 3. Товарный поезд задержался в пути на 12 минут, а затем в 60 км искупил упущенное время, увеличив скорость на 15 км/час. Найти начальную скорость поезда (в км/час).
Решение:
Введем следующие обозначения: V — скорость поезда; t — время движения.
Составим уравнения движения поезда
V*t=60;
(V+15)(t-12/60)=0.

С 1 уравнения выразим время и подставим во второе
t=60/V;
(V+15)( 60/V -12/60)=0.

Данное уравнение расписываем и сводим к квадратному уравнению вида
V^2-45*V-900=0.
Корнями уравнения являются числа
V=-15; V=60.
Отрицательной скорость быть не может, следовательно скорость поезда равна 60 км/час.
Ответ: 60 км/час.

 

Пример 4. От пристани плот отправился по течению реки. Через 5 часов 20 минут за плотом из той же пристани отправился катер который догнал плот, пройдя 20 км. Какая скорость плота (в км/час) если скорость моторной лодки больше скорости плота на 12 км/час?
Решение:
Обозначим V — скорость плота, t — время за которое плот проплыл 20 км.
По условию составляем уравнение к задаче
V*t=20;
(V+12)(t-5-20/60)=20.

Нас интересует скорость плота, поэтому с 1 уравнения выразим время и подставим во второе
t=20/V;
(V+12)( 20/V -5-20/60)=20
.
Данную зависимость можно упростить к квадратному уравнению
V2+12*V-45=0.
Решением квадратного уравнения являются значения
V=3;V =-15.
Таким образом установили что скорость плота равна 3 км/час.

Решение уравнений в Maple

Уравнение к задача легко вычислить с помощью математического пакета Мейпл. Все что нам нужно это короткий код который приведен ниже. Начинаем запись из зануления переменных

> restart;

Раскладываем в ряд (команда series) конечное уравнение чтобы увидеть к какому квадратному уравнению оно сведется.
> s:=series(((V+12)*(20/V-5-20/60)-20)*V*3/16,V,3);
s:=45-12V-V2

Решаем квадратное уравнение командой solve

> solve(s,V);

-15, 3

Можно командой solve решить исходную систему уравнений и сразу найти пару неизвестных. Для этого уравнения и неизвестные записывают в фигурных скобках

> solve({V*t=20,(V+12)*(t-5-20/60)=20},{V,t});
В результате получим

{V=-15,t=-4/3}, {V=3,t=20/3}

Изучайте математические пакеты, различные программы которые облегчают школьникам и студентам обучение и экономят время.

 

Пример 5. Суммы квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого двузначного числа вычесть 9 то получим число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Найти данное число.
Решение:
Обозначим число через
ab=10*a+b.
Составим 2 уравнения для определения числа
a*a+b*b=13;
10*a+b-9=10*b-a
что равносильно записи ab-9=ba.
Из второго уравнения выразим одно из чисел
9*a=9*b+9;
a=(b+1)
и подставим в первое из уравнений
(b+1)^2+ b*b=13.
Уравнение упростится к квадратному
2*b^2+2*b-12=0;
корнями которого по теореме Виета есть 2; -3.

Первая цифра равна a=b+1=3, а неизвестное число — 32.

Данную задача намного быстрее можно решить через логические рассуждения. Сумма квадратов цифр равна 13, легко подобрать 9 + 4 = 13, следовательно возможные варианты искомых цифр 23 и 32. Выполняем проверку:
23-9=16 — не является записью цифр 23 в обратном порядке, а вот
32-9=23 подходит как решение задачи.
Там где надо составить уравнение — составляйте, а на тестах и при вступлении используйте все имеющиеся знания и упрощения.
Ответ: 32.

 

Пример 6. Моторная лодка прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановки за 6 часов 24 минуты. Определить (в км/час) скорость течения реки если расстояние между пунктами 60 км и скорость лодки в стоячей воде равна 20 км/час.
Решение:
Неизвестной в задачи является скорость течения V. Поскольку мы не знаем, сколько времени плыла в одну и другую сторону лодка то нужно составить уравнение на время. Известно что время равно пути разделенном на скорость
V=S/V.

Уравнение времени движения лодки будет выглядеть следующим образом
60/(20+V)+60/(20-V)=6+24/60.
В знаменателе стоит скорость лодки по течению (20 + V) и обратном направлении (20-V). Данное уравнение сведением к общему знаменателю сводится к дробному уравнению в числителе которого у Вас должно фигурировать уравнения вида
32/5*V2-160=0.
Решения уравнения ровно
V=-5;
V=5.
Таким быстрым способ мы нашли скорость течения реки и она равна 5 км/час.

 

Пример 7. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к этому числу прибавить 36 то получим число, записанное теми же цифрами но в обратном порядке. Найти это число.
Решение:
Представим число в виде
ab=10*a+b.

По условию получим два уравнения для нахождения числа
a+b=12;
10*a+b+36=10*b+a.
Упростим второе уравнение, для этого перегрупируем слагаемые
9*a+36=9*b.

Из первого уравнения выразим любое из чисел через другое и подставим во второе уравнение
a=12-b;
9*(12-b)+36=9*b;
108+36=9*b+9*b=18*b;
18*b=144; b=144/18=8.

Одно из чисел мы нашли, вычисляем и второе
a=12-b=12-8=4.
Итак искомое число равно 48.
Ответ:
48.

 

Пример 8. Перемешаны 50% -й раствор соляной кислоты с 10% -ным и получили 500 грамм 20% -го раствора. Сколько граммов 10% -го раствора было взято?
Решение:
Сейчас познакомитесь с новым типом задач на составление уравнений в процентах. Схема вычислений простая и понравится многим.
При смешивании растворов необходимо составить 2 уравнения на содержание 100% концентрата и воды.
Разъясним все в деталях на примере.
Пусть имеем два раствора — 50% А и 10% — B.
Вычислим сколько соляной кислоты в 20% растворе
500*20/100=100
грамм.
Значит остальные (500-100)=400 г – вода.
Составим два уравнения:

  • первое на содержание соляной кислоты в растворах
  • второе — на содержание воды

A*50/100+B*10/100=100;
A*(100-50)/100+B*(100-10)/100=400.
После деления получим
0,5*A+0,1*B=100;
0,5*A+0,9*B=300.

От второго уравнения вычтем первое
0,8*B=300;
B=300/0,8=375
.
Ответ: количество 10% раствора равно 375 грамм.

 

Пример 9. Перемешали 50% -й раствор соляной кислоты с 10% -ным и получили 500 грамм 20% -го раствора. Сколько граммов 50% -го раствора было взято?
Решение:
Задача по условию полностью повторяет предыдущее задание, только найти надо первый раствор. От всего раствора вычтем найденный в предыдущем задании второй
500-375=125 (грамм).
Ответ: нужно взять 125 грамм 50%-ного раствора.

Подобных задач на составление уравнений на сайте и интернете немало. Все они учат Вас логики построения уравнений и знания базовых формул движения, работы, пропорций. Выбирайте для себя простые пути в обучении и не зацикливайтесь на том, чего не можете понять.

Ссылка на основную публикацию