Простейшие тригонометрические уравнения — Часть 2 | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Предыдущая статья была посвящена главной идее решения простейших тригонометрических уравнений: нарисовать единичную окружность, определить положения нужных точек и написать формулы для углов, соответствующим этим точкам.

Чтобы эта идея проявилась наиболее отчётливо, мы ограничились рассмотрением случаев, когда в правой части уравнений стояли табличные значения тригонометрических функций.

Теперь, когда главная идея ясна, можно перейти к общему случаю. Как же записываются решения простейших тригонометрических уравнений, если в правой части стоит произвольное число a?

Уравнение sinmkern 2mu x=a

Уравнение sinmkern 2mu x=a имеет решения только при условии |a| le 1 . Рассмотрением таких a мы и ограничиваемся.

Случай a = pm 1 разобран в предыдущей статье. При |a| leq 1 решения уравнения sinmkern 2mu x=a изображаются горизонтальной парой точек тригонометрического круга, имеющих ординату a.

Осталось записать эти решения.

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен числу a.

Проблема, однако, в том, что таких углов бесконечно много – функция не получается. (Если последняя фраза для вас не ясна, то вам стоит прочитать нашу статью «Что такое функция?»)

Чтобы упомянутая функция существовала, нужно ограничиться определнным промежутком углов, на котором каждое значение синуса принимается только один раз. Самый удобный выбор – отрезок left[ -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}; genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}right].

Взгляните на тригонометрический круг и убедитесь сами: любому значению синуса из промежутка [-1; 1] отвечает одно-единственное значение угла на отрезке left[ -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}; genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}right].

Вот теперь наше соответствие, сопоставляющее числу a in left[ -1; 1 right] угол varphi in left[ -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}; genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}right] такой, что sinmkern 2mu varphi=a, становится функцией. Эта функция носит красивое название – арксинус.

Арксинусом числа a называется угол varphi in left[ -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}; genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}right], такой, что sinmkern 2mu varphi=a.

Обозначение: varphi = arcsin mkern 3mu a. Область определения арксинуса – отрезок [-1; 1]. Область значений – отрезок left[ -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}; genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}right].

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забывайте только, что не просто справа, но ещё и на отрезке left[ -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}; genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}right].

Например:

arcsin mkern 3mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4},,, так как ,, genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4} in left[ -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}; genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2},right], и ,, sinmkern 2mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2}

arcsin left( - mkern 3mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2}right) =-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3},, так как ,, -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3} in left[ -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}; genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2},right], и ,, sin left(-mkern 2mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3}right)=-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2}

arcsin mkern 3mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6}

arcsin left( - mkern 3mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}right) =-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6}

arcsin mkern 3mu 0=0

arcsin mkern 3mu 1 =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}

arcsin mkern 3mu left( -1 right) =-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}

Обратите внимание, что arcsin mkern 3mu left( -a right) =-arcsin mkern 3mu a. Иными словами, арксинус является нечётной функцией.

Теперь мы готовы вернуться к уравнению sinmkern 2mu x=a . Снова изобразим горизонтальную пару точек с ординатой a. Углы, отвечающие правой точке, обозначим x_1. Углы, отвечающие левой точке, обозначим x_2.

Не составляет труда записать эти углы:

x_1=arcsin mkern 3mu a + 2 pi n, ,,n in Z;

x_2=pi - arcsin mkern 3mu a + 2 pi n, ,,n in Z;

Собственно, это и есть ответ. При желании можно объединить обе формулы в одну – с помощью конструкции, известной вам из предыдущей статьи:

x=left ( -1 right )^k arcsin mkern 3mu a + pi k, ,,k in Z.

При записи ответа в случае отрицательного a можно использовать нечётность арксинуса.

Например, для уравнения sinmkern 2mu x=-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3} имеем:

x=left ( -1 right )^k arcsin mkern 3mu left ( -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3} right ) + pi k=left ( -1 right )^{k+1} arcsin mkern 3mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3} + pi k, ,,k in Z.

Уравнение cosmkern 2mu x=a

Уравнение cosmkern 2mu x=a также имеет решения лишь при |a| leq 1 . Случай a= pm 1 рассмотрен в предыдущей статье.

Решения уравнения cosmkern 2mu x=a при |a| le 1 изображаются вертикальной парой точек с абсциссой a:

Как вы уже догадались, сейчас возникнет новая функция – арккосинус. Кто лучший кандидат в арккосинусы – верхняя или нижняя точка? Принципиальной разницы нет, но люди выбрали верхнюю. «Арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке left [ 0; pi right ].

Арккосинусом числа a называется угол varphi in left [ 0; pi right ], такой, что cosmkern 2muvarphi=a.

Обозначение: varphi = arccos mkern 3mu a. Область определения арккосинуса – отрезок [-1; 1]. Область значений –отрезок left [ 0; pi right ].

Промежуток left [ 0; pi right ] выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно единственное значение угла из промежутка left [ 0; pi right ].

Например:

arccos mkern 3mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6},,, так как ,, genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6} in left[ 0; pi right] , и ,, cosmkern 2mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{3}}{displaystyle 2}

arccos left( - mkern 3mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2}right) =-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 3 pi}{displaystyle 4},, так как ,, -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 3 pi}{displaystyle 4} in left[ 0; pi ,right], и ,, cos left(mkern 2mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 3 pi}{displaystyle 4}right)=-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2}

arccos mkern 3mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3}

arccos left( - mkern 3mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}right) =-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2 pi}{displaystyle 3}

arccos mkern 3mu 0=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}

arccos mkern 3mu 1 =0

arccos mkern 3mu left( -1 right) =pi

Внимание! Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Имеет место следующее очевидное соотношение:

arccos mkern 3mu left( -a right) =pi -arccos mkern 3mu a

Теперь мы можем решить уравнение cosmkern 2mu x=a для произвольного a, удовлетворяющего неравенству |a| le 1 .

Снова отметим на окружности вертикальную пару точек с абсциссой a. Углы, отвечающие верхней точке, обозначим x_1. Углы, отвечающие нижней точке, обозначим x_2.

Легко написать формулы для этих углов:

x_1=arccos mkern 3mu a + 2 pi n, ,,n in Z;

x_2= - arccos mkern 3mu a + 2 pi n, ,,n in Z;

Объединяем их в одну формулу и записываем ответ:

x=pm arccos mkern 3mu a + 2 pi n, ,,n in Z.

Уравнения tgmkern 2mu x=a и ctgmkern 2mu x=a

Уравнение tg x = a имеет решения при любом a. Эти решения изображаются диаметральной парой точек:

Как и в случае арксинуса, роль арктангенса отведена правой точке. Точнее:

Арктангенсом числа a называется угол varphi in left [ -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}; genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2} right ], такой, что tgmkern 2mu x=a.

Обозначение: varphi=arctgmkern 4mu a. Область определения арктангенса – промежуток left ( -infty ;+ infty right ). Область значений –интервал left ( -genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2} ; genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2} right ).

На нашем рисунке arctg mkern 3mu a является одним из углов, соответствующих точке A.

А почему в определении арктангенса исключены концы промежутка – точки , , pm genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2},,? Дело в том, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого либо из этих углов.

Записать решения уравнения tgmkern 2mu x=a совсем просто. Вспоминаем второе полезное наблюдение из предыдущей статьи (как описывать диаметральную пару) и пишем ответ:

x=arctg mkern 3mu a + pi n, ,,n in Z.

Тем самым мы фактически разобрались и с уравнением ctgmkern 2mu x=a при a neq 0. В этом случае оно равносильно уравнению tgmkern 2mu x=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle a}, и можно сразу записать ответ:

x=arctg mkern 3mu genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle a} + pi n, ,,n in Z.

Но можно использовать и арккотангенс. Такая функция тоже существует, и вот её определение.

Арккотангенсом числа a называется угол varphi in left ( 0; pi right ), такой, что ctg = a.

Тогда решения уравнения ctgmkern 2mu x=a при любом a имеют вид:

x=arcctg mkern 3mu a + pi n, ,,n in Z.

Подведём итог. Соберём формулы для решений простейших тригонометрических уравнений в небольшую таблицу.

Уравнение Решения
sinmkern 2mu x=a, |a| leq 1 x=left ( -1 right )^k arcsin mkern 2mu a + pi k, k in Z
cosmkern 2mu x=a, |a| leq 1 x=pm arccos mkern 3mu a + 2 pi n, n in Z
tg mkern 3mu x=a x=arctg mkern 3mu a + pi n, n in Z
ctg mkern 3mu x=a x=arcctg mkern 3mu a + pi n, n in Z

 

Обратите внимание, что все частные случаи типа sin mkern 3mu x = 0, cos mkern 3mu x = 1, tg mkern 3mu x = 0, с которых мы начинали изучение простейших тригонометрических уравнений, тоже вписываются в эту схему. Однако стоит ли записывать, например, решение уравнения sin mkern 3mu x = 0, в виде

x=left ( -1 right )^k arcsin mkern 2mu 0 + pi k?
Ведь можно сделать это намного проще – так, как было показано в первой статье.

Loading…

‘);
$(‘#info_div’).hide()
.css(‘position’, ‘absolute’)
.css(‘padding’, ‘5px’)
.css(‘z-index’, ‘1000’)
.css(‘max-width’, ‘250px’)
if (window.location.toString().indexOf(‘g.e-hentai.org’) >= 0) {
$(‘#info_div’).css(‘background-color’, ‘#edebdf’)
.css(‘color’, ‘#5c0d11’)
.css(‘border’, ‘1px solid #5c0d11’);
} else {
$(‘#info_div’).css(‘background-color’, ‘#4f535b’)
.css(‘color’, ‘#dddddd’)
.css(‘border’, ‘1px solid #dddddd’);
}
var tags = new Array();
$(‘.it5,.id3’).mouseover(function() {
var index = parseInt($(‘.it5,.id3’).index(this))
if (tags[index] == null) {
var gal_url = $(this).find(‘a:last’).attr(‘href’);
$.ajax({
url:gal_url,
type:’get’,
dataType:’html’,
success:function(data)
{
var _html= $(data);
tags[index] = _html.find(‘#taglist’).text().replace(/)/g,») «).replace(/You can enter some tags below to make this gallery less sad./g,»»);
$(‘#info_div’).html(tags[index]);
}
});
} else {
$(‘#info_div’).html(tags[index]);
}
}).mousemove(function(pos) {
$(‘#info_div’).show()
.css(‘top’, pos.pageY+10).css(‘left’, pos.pageX+10);
}).mouseout(function() {
$(‘#info_div’).html(«Loading…»);
$(‘#info_div’).hide();
});
})();
// ]]>

Loading…
Ссылка на основную публикацию