Приводящиеся к однородным ДУ

Следующие  уравнения, которые мы рассмотрим называют дифференциальными уравнениями, сводимыми к однородным. Для студентов они достаточно болезненны, поскольку трудно идентифицировать такого рода ДУ с первого взгляда. Другая проблема — не все могут изучить и знать, когда и какую схему следует применять.
Однако схема вычислений достаточно хорошо описана в книгах и дает возможность найти решение ДУ первого порядка, хоть при этом приходится выполнять массу вычислений. Чтобы не пугать Вас теорией сразу перейдем к анализу готовых ответов из которых все станет ясно.

Пример 1 Решить дифференциальное уравнение
дифференциальное уравнение, сводимое к однородномуРешение:Перед нами совсем другой тип дифференциальных уравнений первого порядка чем те, что были рассмотрены ранее. Схема вычислений тоже отличается, сначала необходимо определить стационарную точку — для этого необходимо найти нули числителя и знаменателя.
Составим и решим систему уравнений:

Стационарной точкой является М(-1;1).
Далее выполняем замену переменных (смещение координат)
особая точка
отсюда исходное ДУ превратим до однородного дифференциального уравнения
или
Выполним замену переменных замена переменныхи найдем дифференциал через новую переменную

Подставляя в уравнение, получим простую для вычислений зависимость
дифференциальное уравнение
которую легко сводим к уравнению с разделенными переменными
уравнение с разделенными переменными
Далее интегрируем обе части
интегрирования дифференциального уравнения
и находим общее решение уравнения
общее решение уравнения
Возвращаясь к самой первой замене получим
общий интеграл дифференциального уравнения
где — произвольная константа.
Вот в таком виде получили решение дифференциального уравнения. Хорошо разберите приведенную схему вычислений, она для студентов на цену золота.

 

Пример 2 Найти общий интеграл уравнения
ифференциальное уравнение, сводимое к однородномуРешение:Данное дифференциальное уравнение первого порядка имеет достаточно простое решение, однако не каждый студент без шпаргалки или методички может найти ответ самостоятельно.
Методика сведения уравнения к однородному ДУ заключается в следующих действиях: находим особую точку (нули числителя и знаменателя дроби).
Для этого решаем систему линейных уравнений
с
Далее вводим замену переменных
замена переменных
Единицы справа являются решениями системы уравнений.
Наше первоначальное дифференциальное уравнение в новых переменных будет иметь запись

Именно для упрощения и решали систему уравнений.
Далее необходимо выполнить замену переменных
тогда
После замены полученное ДУ можем свести к уравнению с разделенными переменными
уравнение с разделенными переменными
Проинтегрировав обе части формулы
интегрирования уравнения
сначала придем к логарифмам
логарифмическое уравнение
Далее экспонированием обеих частей получим зависимость вида

Возвращаясь к начальной замене переменных, получим решение ДУ в новых переменных

а дальше окончательный интеграл дифференциального уравнения
интеграл дифференциального уравнения
Здесь С=const— произвольная действительная константа, которая может бить определена из условия Коши.
Вот так сложно бывает иногда получить общее решение дифференциального уравнения.

 

Пример 3 Решить дифференциальное уравнение
ифференциальное уравнение, сводимое к однородномуРешение:Имеем ДУ первого порядка оторое можем свести к однородному дифференциальному уравнению. Для этого составим систему уравнений из условия равенства нулю числителя и знаменателя дроби
стационарная точка
Зная координаты точки, выполняем перенос системы координат
замена координат
Исходное дифференциальное уравнение при этом преобразуется к виду
или
Далее следует сделать замену переменных z=Y/X, Y=z*X, при этом производная равна

Подставим ее в уравнение и разделим переменные, так получим ДУ с разделенными переменными
ДР с отделенными переменными
Интегрируя дифференциальное уравнение приходим к логарифмическому
интегрирования уравнения
Далее экспонируем полученную зависимость, предварительно сведя логарифмы в правой части по формуле произведения

Возвращаясь к замене переменных (z) получим решение

которое после повторной замены приобретет понятный вид

Перенеся единицу вправо
общий интеграл дифференциального уравнения
получим общий интеграл дифференциального уравнения.
Здесь разобраны только 3 примеры, однако схему вычислений они описывают в полной мере. Теперь Вы знаете, что делать с уравнениями сводными к однородным и после самостоятельной работы с подобными примерами не будете иметь трудностей на контрольных и экзаменах. В следующем уроке Вас ждет еще масса готовых ответов для изучения других дифференциальных уравнений первого порядка и схем решения.

Ссылка на основную публикацию