Показательные уравнения. Решения

Решение множества показательных уравнений не обходится без замен, квадратных уравнений и сложных преобразований. Приведенные ниже примеры помогут Вам в этом быстро разобраться и научат решать самые сложные из них. Также Вы сможете выучить некоторые свойства логарифмов без которых показательные уравнения в простой способ не решить. Начнем с самых азов — теоретического материала об уравнениях.
Показательными называют уравнения в которых неизвестная величина содержится в показателе степени, при этом основа степени не содержит неизвестной величины. Самое простое показательных уравнения ax=b решают логарифмированием x=log[a](b).
логарифмирование

При решении показательных уравнений используют свойство показателей: если в уравнение степени с одной и той же основой то равные показатели степени или основание равно единице.
Из равенства следует или .

Некоторые уравнения требуют замены переменной и сводится к решению степенного уравнения. Например уравнения
легко сводится к квадратному если сделать замену
заменаПри этом исходное уравнение примет вид
После его решения нужно вернуться к замене и решить полученное уравнение.
Если показательной уравнение содержит две различные показательные функции ( основы не сводятся к одной) , то выполняют деления уравнения на одну из основ в соответствующей степени и переход до показательного уравнения которое содержит функцию с дробной основой.
Находя решения показательных уравнений следует помнить что показательная функция принимает только положительные значения. Отрицательные значения или нули замененной переменной не принимаются к рассмотрению.

На этом необходимый теоретический материал заканчивается и переходим к рассмотрению распространенных примеров.

Пример 1.Решить показательное уравнение
показательное уравнение, пример

Решение. Перепишем уравнение к следующему виду
преобразования
Второе слагаемое распишем как произведение
преобразования
и сделаем замену в уравнении
замена
Исходное уравнение преобразуем к следующему

Областью допустимых значений будет действительная ось за исключением точки y=0.
Умножим его на y и переносим все в левую сторону
квадратное уравнение
Получили квадратное уравнение корни которого находим по теореме Виета. Нетрудно убедиться что они принимают значения
корни уравнения
Возвращаемся к замене и находим решения
решение
решение
Выполняем проверку
проверка
проверка
Итак оба решения решения удовлетворяют уравнению.

 

Пример 2. Решить показательное уравнение
показательное уравнение, пример

Решение. Используя одну из свойств логарифма записываем правую сторону уравнения в виде
преобразования
Приравнивая показатели находим
решения

 

Пример 3. Решить уравнение
показательное уравнение, пример

Решение. Такого сорта примеры решают логарифмированием обеих сторон что приводит к сведению показательного уравнения к простому виду.
преобразования
квадратное уравнение
Полученное уравнение относительно переменной решаем через дискриминант
дискриминант
Корни уравнения приобретут значения
корни уравнения
корни уравнения
корни уравнения
Другого метода позволяющего аналитически получить решения Вы не найдете ни в интернете, ни на форумах.

 

Пример 4. Решить уравнение
показательное уравнение, пример

Решение. Выполним некоторые преобразования с показателями чтобы упростить уравнение
преобразования
Эквивалентные значения подставим в уравнение, в результате получим

Выполняем замену
замена
Уравнение превратится к квадратному

квадратное уравнение
Вычисляем дискриминант
дискриминант
Найденное значение подставляем в формулу корней
корни уравнения
корни уравнения
Возвращаемся к замене и находим
решение
решение
Задача решена.

 

Пример 5.Решить уравнение
показательное уравнение, пример

Решение. Такого типа уравнения решают с постоянной основой . За основу классически берут 10 , однако , если взять другую (для данного примера 5 или 9 ) то решение примет компактный вид
Рассмотрим оба метода.
1. Прологарифмируем обе части равенства
логарифмирования
Раскрываем скобки и группируем слагаемые при неизвестных
решение

Такой интересный результат.

2. Прологарифмируем обе части равенства по основанию 9
решение
Группируя слагаемые содержащие переменную получим
решение
решения
Оба метода достаточно быстрые и эффективные, для себя выбирайте который Вам больше подходит.

 

Пример 6.Решить уравнение
показательное уравнение, пример

Решение.Такого рода задачи решают по следующей схеме. Показательное уравнения превращают к виду
преобразование
Все слагаемые разделяем на величину чтобы свести к дробному виду
преобразования
После этого выполняем замену
замена
Уравнение переписываем в виде
уравнение
Умножаем на переменную и решаем квадратное уравнение
квадратное уравнение
дискриминант
Дискриминант принимает нулевое значение, при етом корни уравнения совпадают
корни уравнения
Возвращаемся к замене и решаем
решение
решения
Итак x=2 — единственное решение.
Используйте приведенную схему в подобных задач и гарантированно получите верный результат.

 

Пример 7. Решить уравнение
показательное уравнение, пример

Решение. На первый взгляд уравнения достаточно сложное и неизвестно как его упрощать, однако схема решения данного примера и подобных довольно проста и интересна. Выполним над уравнением преобразования
преобразования
Нужно это уравнение преобразовать к квадратному

упрощение

Выполним замену
замена
и перепишем уравнение в виде следуещого
квадратное уравнение
Вычисляем дискриминант
дискриминант
и корни уравнения
корені рівняння
Возвращаемся к совершенной замене
показательное уравнение
Такое уравнение сводим к квадратному, выполнив замену
замена
В результате получим
преобразование
Решаем через дискриминант
дискриминант
корни квадратного уравнения
Возвращаемся к замене и определяем переменную x
решение
Второе значение рассматривать не будем, поскольку оно отрицательное, а показательная функция показательная функция всюду положительная.
Решаем вторую половину задачи
показательное уравнение
Используя предыдущую замену получим
преобразование
Дискриминант примет значение
дискриминант
Находим корни уравнения
корни уравнения
Первый корень имеет место бить, второй — отрицательный и не подходит.
решение
Получили два решения показательного уравнения
решение
Хорошо разберитесь с приведенными методами решения показательных уравнений, возможно некоторые из них пригодятся при прохождении ВНО, экзамене или контрольной работе. Будьте внимательны при упрощении, первое время используйте подстановку для проверки результатов.

Ссылка на основную публикацию