Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравение первого порядка
называется однородным, если и
— однородные функции
одной и то же степени.

Функция
называется однородной функцией k-й степени, если для любого t выполняется равенство
.

В частном случае, если однородная функция имеет нулевую степень, то выполняется равенство

Пример 1. Установить, являются ли однородными функции

1) ;

2) ;

Решение. Находим

Следовательно,
однородная функция третьей степени.

Аналогично устанавливается, что
однородная функция четвёртой степени:

Отношение двух однородных функций одинаковых степеней также есть однородная функция, но
нулевой степени. Пусть и
— однородные функции
k-й степени. Это означает, что , а
. Их отношение — некоторая функция
, так как .

Как решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка?

Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению дифференциального
уравнения с разделяющимися переменными.

Для этого преобразуем уравнение к виду

или
,   (1)

где
однородная функция нулевой степени как отношение однородных функций одинаковых степеней. Это равенство справедливо при любом t.
В частности, если , то
, или
, т. е. функция
представлена в виде функции
от .

Обозначим это отношение через z, т. е. ,
откуда . Тогда

и уравнение (1) преобразуется так:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование,
затем следует заменить z на .

Пример 2. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение. Сначала преобразуем данное уравнение к виду

,

а затем произведём подстановку ,
откуда . Тогда уравнение примет вид

, или
, или
.

Почленное интегрирование даёт

, или
.

Заменяя z на ,
получим , откуда
.

Пример 3. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение. Сначала преобразуем данное уравнение к виду

,

а затем произведём подстановку ,
откуда . Тогда уравнение примет вид

.

Путём дальнейших преобразований получаем
.

Итак, или
.

Далее или
.

Почленное интегрирование даёт

.

Заменяя z на ,
получим , откуда
и

— общий интеграл данного уравнения.

Пример 4. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим

или

.

Произведём подстановку ,
откуда . Тогда уравнение примет вид

.

Путём дальнейших преобразований получаем

Итак, или

.

Почленное интегрирование даёт

,
откуда
.

Заменяя z на ,
получим

Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x и получим

— общий интеграл данного уравнения.

Пример 5. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим

или

.

Произведём подстановку ,
откуда . Тогда уравнение примет вид

.

Путём дальнейших преобразований получаем

Итак, или

.

Почленное интегрирование даёт

.

Заменяя z на ,
получим

Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x в кубе и получим

— общий интеграл данного уравнения.

Выводы. Чтобы решать однородные дифференциальные уравнения, необходимо хорошо владеть
методами интегрирования — путём замены переменной и по частям. В практических задачах на этот вид дифференциальных
уравнений нередко после преобразований получаются выражения, интегрируя которые, требуется применять как один, так и другой
метод интегрирования дважды или даже трижды.

Поделиться с друзьями

Ссылка на основную публикацию