Неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка

Неоднородное дифференциальное уравнение по сложности вычислений можно разделить на два типа: первый имеет неоднородную функцию, которая не связана с решением однородного уравнения. Второй тип предполагает, что неоднородная часть ДУ может содержать экспоненту, синусы и косинусы или произведения экспонент на синусы и косинусы. Первый из вариантов ДУ подробно рассмотрен на предыдущих уроках. Далее будут проанализированы готовые ответы на сложные неоднородные ДУ 3 порядка: в этой статье задания, содержащие экспоненту, в последующих — тригонометрические функции.
Сразу хочу обратить Ваше внимание что на важных моментах при вычислениях отмечено и их следует заучить или выписать. В общем материал должен Вам понравиться и помочь в учебе!

Как решить неоднородное дифференциальное уравнение?

Пример 1. (10.16) Найти общее решение дифференциального уравнения:
неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка
Решение.Имеем неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка — одно из сложных в данном разделе. Его решение ищем через сумму решений однородного и неоднородно диф. уравнений . Найдем каждый из корней, для этого выполняем анализ однородного дифференциального уравнения
анализ однородного дифференциального уравнения
Его решение ищем в виде суммы экспоненциальных функций
y=exp(k*x).
При подстановке в однородное уравнение и делении на exp(k*x) (всегда больше нуля) получим характеристическое уравнение
характеристическое уравнение
Поскольку уравнение кубическое то один из корней ищем среди простых множителей свободного члена другие два — с неполной квадратного уравнения, которое останется
(k2-1)(k-3)=0.
В результате получим следующие значения

Так как корни характеристического уравнения различны действительные числа то решение имеет вид суммы произведения констант на экспоненты в соответствующих степенях

Правая часть дифференциального уравнения (4-8x)exимеет вид полинома умноженного на степенную зависимость экспоненты P(x)ex, причем коэффициент в показательной функции является корнем характеристического уравнения (k=1),поэтому частичное решение запишем в виде
частичное решение уравнения
Определим А и В, входящие в формулу функции. Для этого подставим y в дифференциальное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x. Вычисляем производные до третьего порядка
производные функции
и подставляем в исходное дифференциальное уравнение. После объединения подобных слагаемых получим зависимость

Отсюда при одинаковых степенях переменной определяем сталые A=1, B=-1.
Таким образом частичное решение ДУ можем записать формулой
частичное решение уравнения
Общее решение дифференциального уравнения находим суммированием функций
общее решение дифференциального уравнения
Здесь С1, С2, С3 – сталые, которые принимают произвольные значения. Доопределить их можем только при наличии условия Коши для функции.
Теперь Вы знаете, как решить неоднородное дифференциальное уравнение 3 порядка и как составить характеристическое уравнение.

 

Пример 2. (10.22) Найти общее решение дифференциального уравнения
неоднородное дифференциальное уравнение  3 порядка
Решение:Решим неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка через суперпозицию двух корней..
Опуская выкладки которые можно прочитать с предыдущей задачи запишем характеристическое уравнение для однородного диф. уравнения и найдем его корни

Поскольку два корни одинаковы то общий интеграл однородного ДУ имеет вид

Правая часть данного уравнения 4x*ex имеет вид полинома первой степени P(x) умноженного на экспоненциальную функцию exp(x),поэтому и частичное решение уравнения ищем в таком же виде

Находим производные до третьего порядка

и подставляем в исходное ДУ. После объединения подобных слагаемых получим

Отсюда находим сталые – А=1; В=0. Можем записать явный вид частного решения ДУ

Общий интеграл дифференциального уравнения находим как сумму найденных функций
общий интеграл дифференциального уравнения
На этом задача решена.

 

Пример 3.(10.24) Найти общее решение дифференциального уравнения:
дифференциальное уравнение третьего порядка
Решение:Корни неоднородного дифференциальное уравнение третьего порядка по известной Вам схеме ищем в виде суммы
Для однородного дифференциального уравнения характеристическое уравнение имеет вид

Решив его, получим три корня, причем один кратности 2

В таких случаях ответ записываем формулой

Правая часть неоднородного диф. уравнение -(8x+4)*ex имеет вид P(x)ex, при этом степень экспоненты не совпадает с характеристическими корнями, поэтому в аналогичном виде ищем частичное решение

Находим производные до третьего порядка
производные функции
Подставляем их в дифференциальное уравнение и группируем общие слагаемые, в результате получим

откуда, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях аргумента, определяем стали A=1; B=0.
Таким образом частичное решение уравнения можем записать зависимости
частичное решение уравнения
Далее суммированием находим общее решение дифференциального уравнения
общее решение дифференциального уравнения
Как можно убедиться из приведенных задач вычисления не слишком сложные. Если есть задачи которые трудно самостоятельно решить — просьба присылать их нам на почту. Мы постоянно ищем и подбираем задачи которые научат Вас нового и в полной мере раскроют тему.
Во время учебы Вам приходилось брать куда сложные производные и интегралы, схема решения неоднородных уравнений довольно простая и ее под силу запомнить каждому.
Чтобы материал Вам лучше запомнился найдите в методичках по которым учитесь похожие дифференциальные уравнения и решите самостоятельно. Поверьте — это намного больше Вам поможет, чем прочитать на сайте и сказать — «Я все понял!». Чтобы потом не было на модули или контрольной вопросов «Как решить неоднородное дифференциальное уравнение?»
И знайте — в случае проблем при решении мы готовы Вам помочь.

Ссылка на основную публикацию