Неоднородное дифференциальное уравнение 4 порядка. Характеристическое уравнение

Из приведенной статьи Вы получите подробную инструкция для вычисления неоднородного дифференциального уравнения третьего, четвертого порядка. Алгоритм нахождения общего решения заключается в составлении характеристического уравнения для однородного ДУ а потом нахождении частного решения неоднородного ДУ. В книгах все подробно расписано, мы же больше ориентируемся на практические занятия, поэтому переходим к анализу готовых ответов.

Пример 1. (9.17) Решить дифференциальное уравнение
неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка
Решение: Имеем неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка. Вы должны знать что решение в таких уравнениях нужно представить в виде суммы интеграла однородного уравнения и частного решения неоднородного .
Сначала всегда начинаем анализ с однородного дифференциального уравнения
неоднородное дифференциальное уравнение
Представим решение в вид экспоненты в степени y=ek*x.
Далее подставляем y в уравнение и, пренебрегая множителем exp(k*x) (он всегда больше нуля), выписываем характеристическое уравнение
характеристическое уравнение
Решив его получим следующие значения k1=0, k2=k3=k4=1.
Поскольку корни характеристического уравнения действительны числа, причем три из них одинаковые, то решение однородного уравнения представим в виде
решение однородного уравнения
Неоднородная часть заданного уравнения x-3 имеет вид полинома P(x)ex, причем коэффициент в показательной функции является корнем характеристического уравнения (k=0, откуда e0*x=1), поэтому частичный решение неоднородного уравнения ищем в виде
формула частного решения ДУ
Найдем коэффициенты A и B: для этого подставим функцию в исходное дифференциальное уравнение и приравняем множители при одинаковых степенях переменной x

Третья и четвертая производные равны нулю

Подставляя в уравнение и группируя подобные выражения, получим

откуда составляем систему линейных уравнений
система уравнений
и находим сталые A=-1/2 и B=0.
Таким образом частичное решение неоднородного уравнения выражается формулой
частное решение неоднородного уравнения
Общее решение дифференциального уравнения равно сумме найденных функций

здесь С14 — произвольные константы, которые можно уточнить если уравнение имеет условие Коши.

 

Пример 2. (9.23) Найти интеграл дифференциального уравнения
неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка
Решение: Решение неоднородного дифференциального уравнения третьего порядка по приведенной выше схеме подаем через сумму

Сначала рассмотрим однородное дифференциальное уравнение
однородное дифференциальное уравнение
Опуская промежуточные действия, которые описаны в 1 задании, записываем характеристическое уравнение и находим его корни
характеристическое уравнение
Так как корни характеристического уравнения различные, то решение записываем через сумму экспонент в соответственных степенях

Согласно правой части уравнения (x-1) частичное решение ищем в виде

Для определения коэффициентов A, B вычислим производные первого — третьего порядка

и подставим в исходное дифференциальное уравнение

Приравняв множители при одинаковых степенях переменной составляем систему линейных уравнений

из которой находим постоянные

Теперь можем записать частичное решение дифференциального уравнения
частичное решение дифференциального уравнения
Общее решение дифференциального уравнения находим по формуле
общее решение дифференциального уравнения
В нем присутствуют три константы, которые могут принимать произвольное значение. Доопределить их может только условие Коши, однако в задании оно не задано.

Пример 3.(9.12) Решить дифференциальное уравнение
неоднородное дифференциальное уравнение четвертого порядка
Решение: Решение неоднородного дифференциального уравнения четвертого порядка ищем через сумму двух.
1. Для однородного дифференциального уравнения

характеристическое уравнение после подстановки функции y=exp(k*x) будет иметь вид
характеристическое уравнение
Корни искать в большинстве случаев легко, например данное имеет решением ноль кратности 2, остальные два корня находим по теореме Виета с квадратного уравнения
k2-4k+4=0
В результате получим k1=k2=0 и k3=k4=-2. Поскольку корни характеристического уравнения действительны числа, причем каждые 2 из них одинаковые (кратные), то решение однородного дифференциального уравнения записываем в виде

Неоднородная часть заданного уравнения x-x2 имеет вид полинома второго порядка P2(x), поэтому частичный решение ищем в виде
частичный решение
Найдем коэффициенты A, B и D : для этого функцию подставляем в исходное дифференциальное уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:


В результате придем к системе из 3 линейных уравнений

Мудрить здесь не приходится — имеем готовую схему Гаусса, поэтому последовательно с первого уравнения находим A, с второго — B, третьего — D

Подставляем найденные значения в формулу частного решения уравнения

Общее решение дифференциального уравнения 4 порядка находим суммированием функций
общее решение дифференциального уравнения
Сталые С1, С2, С3, С4 – принимают произвольные значения. Если задание содержит задачу Коши то их определяем с начального условия.
На этом знакомство с методикой вычисления дифференциальных уравнений через характеристическое уравнение завершено. Совершенствуйте умение дифференцировать и интегрировать и со временем подобные Ду для Вас также будут легкими.
А для этого нужно много работать самостоятельно, поэтому в качестве домашнего задания попробуйте найти решение следующих дифференциальных уравнений.

Ссылка на основную публикацию