Найти решение системы линейных уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом

Для решения системы линейных алгебраических уравнений ее записывают в матричной форме

где -матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; — столбец неизвестных; — столбец свободных членов. После того, если для матрицы существует обратная матрица ( ) то система линейных уравнений имеет единственное решение и он находится за формулой

Поскольку перемножить матрицу на вектор столбец не складывает особенных трудностей, то большая проблема при вычислениях — найти обратную матрицу

В нахождении решения за приведенной формулой и заключается суть матричного метода.

Рассмотрим несколько примеров из сборника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. «Высшая математика»

————————————

Задача.

Решить систему линейных алгебраических уравнений.

1) (1. 183)

2) (4. 182)

Решение.

1) Запишем систему трех линейных уравнений в матричной форме

Найдем обратную матрицу. Напомним, что

где — определитель матрицы , а — транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов определителя матрицы.

Вычислим определитель матрицы

Матрица алгебраических дополнений состоит из элементов , которые вычисляются через миноры по правилу

Миноры — это определители на порядок меньшие от определителя , которые образуются вычеркиванием в нем -й строки и — го столбца. На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.

Найдем алгебраические дополнения к определителю

Запишем найденную матрицу алгебраических дополнений

и протранспонируем ее

Находим обратную матрицу

С помощью обратной матрицы находим решение системы линейных уравнений

На етом решения примера завешено. Как видите никаких сложных вычислений в етом задании мы не делали.

2) Запишем систему линейных уравнений четвертого порядка в матричной форме

Поскольку все коэффициенты ненулевые то вычислять ее будет трудно. Выполним над системой линейных уравнений элементарные превращения чтобы превратить в нуль некоторые из коэффициентов.

От второй строки отнимем первую и последнюю строки

От третьей строки отнимем сумму первой и четвертой строки начальной системы

От четвертой строки отнимем первый

Из последней строки уже можем сказать что но будем придерживаться правил чтобы научиться решать большие системы уравнений.

Поскольку матрица стала разреженной то вычисление определителя и матрицы алгебраических дополнений упростятся. Найдем определитель матрицы, разложив его за четвертой строкой

Найдем матрицу алгебраических дополнений, раскладывая искомые детерминанты за строками и столбцами которые содержат больше всего нулей. Для самопроверки выпишу Вам вычисление только первой строки. Остальные попробуйте вычислить самостоятельно

После нахождения всех значений получим следующую матрицу дополнений

Поскольку определитель равен единице то обратная матрица с транспонированной матрицей дополнений совпадают

Подставим в матричную запись и найдем решение

При вычислениях систем линейных алгебраических уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом придется находить большое количество алгебраических дополнений , которые собой являют определители второго и третьего порядка соответственно. Именно ошибки при их вычислении чаще всего становятся причиной неверного решения. Для избежания таких ситуаций нужно хорошо знать правила нахождения определителей второго, третьего порядка, а также правила чередования знаков возле миноров.

Изучайте их и получайте лишь верные решения !

———————————————-

Посмотреть материалы:

Ссылка на основную публикацию