Логарифмические уравнения на примерах

Логарифмическими называются уравнения содержащие неизвестную величину под знаком логарифма или в основании логарифма (или в обоих местах одновременно). Их легко свести к квадратным или степенным уравнениям относительно переменной если знать свойства логарифма. Например, логарифмическими будут следующие уравнения
логарифмическое уравнение
логарифмическое уравнение, пример
логарифмическое уравнение

Необходимо отметить что во время решения логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений ( ОДЗ ) : под знаком логарифма могут находиться только положительные величины, в основе логарифмов — положительные, отличные от единицы. Однако нахождения ОДЗ порой может быть очень громоздким и на практике имеем возможность или искать ОДЗ, или сделать проверку подстановкой корней уравнения.

Простейшим логарифмическим уравнением называют уравнение вида
логарифмическое уравнение

Его решение вычисляется потенцированием (нахождение числа или выражения по его логарифму)
потенцирование

В некоторых случаях, решая логарифмические уравнения, целесообразно производить замену переменной. Например в уравнении
логарифмическое уравнение
удобно сделать замену замена и мы приходим к квадратному уравнению. Причем оба корни этого квадратного уравнения можно подставить в замену чтобы найти подходящее х.

Стоит запомнить что десятичный логарифм от единицы со следующими нулями равно количеству нулей в записи этого числа.
логарифм десятичный

Для десятичного логарифма от единицы с предыдущими нулями правило подобное. Он равен количеству всех нулей в записи этого числа, включая и ноль целых, взятых со знаком минус. Для примера
логарифм десятичный

На этом необходимый теоретический материал рассмотрен и можно переходить к рассмотрению практических примеров. Внимательно рассмотрите их решения это позволит усвоить некоторые правила логарифмов и увеличит практическую базу, которая пригодится при прохождении ВНО , контрольных, тестах и т.д.

Пример 1. Решить уравнение.
логарифмическое уравнение, пример

Решение. Используя свойство логарифмов переписываем уравнение в виде
логарифмическое уравнение
Делаем замену
замена
и переписываем

Умножаем на переменную и записываем в виде квадратного уравнения
квадратное уравнение
Вычисляем дискриминант
дискриминант
Корни уравнения приобретут значения
корни уравнения
Возвращаемся к замене и находим
потенцирование
потенцирование
Уравнение имеет два решения
решение

 

Пример 2. Решить уравнение.
логарифмическое уравнение, пример

Решение. Раскрываем скобки и записываем в виде суммы логарифмов

Учитывая что уравнение примет вид

Переносим слагаемое за знаком равенства в правую сторону


Оба множители приравниваем к нулю и находим
потенцирование
потенцирование

 

Пример 3. Решить уравнение.
логарифмическое уравнение, пример

Решение. Перепишем правую сторону в виде квадрата и прологарифмируем по основанию 10 обе части уравнения

делаем замену
замена
и сводим уравнение к квадратному
квадратное уравнение
Дискриминант такого уравнения принимает нулевое значение — уравнение имеет два одинаковых решения
корни уравнения
Возвращаемся к замене которую делали выше
потенцирование

 

Пример 4. Решить уравнение.
логарифмическое уравнение, пример

Решение. Выполним некоторые преобразования с слагаемыми уравнения
преобразования
преобразования
преобразования
Логарифмическое уравнение упростится до следующего
упрощения
Поскольку логарифмы имеют одинаковые основания то значение под знаком логарифма тоже равны. На основе этого имеем

Расписываем и решаем с помощью дискриминанта
квадратное уравнение
дискриминант
корни уравнения
Второй корень не может быть решением, поскольку никакое положительное число при возведены в степени не даст в результате -1. Итак x=2 – единственное решение уравнения.

 

Пример 5. Найти решение уравнения .
логарифмическое уравнение, пример

Решение. Выполняем упрощения уравнения
упрощения
упрощения
упрощения
упрощения
По свойству переходим ко второй основы во втором логарифме
упрощения
упрощения
упрощения
По правилу логарифмирования имеем

Сводим уравнение к квадратному и решаем его
квадратное уравнение
дискриминант
Дискриминант равен нулю, следовательно имеем один корень кратности два
корни уравнения

 

Пример 6. Найти решение уравнения.
логарифмическое уравнение, пример

Решение. Заданное уравнение и подобные ему решаются путем сведения к общей основе. Для этого преобразуем правую сторону уравнения к виду

и подставим в уравнение

Поскольку основы логарифмов ровны переходим до показательного уравнения
упрощения
Выполняем замену замена и сводим к квадратному уравнению
квадратное уравнение
дискриминант
корни уравнения
Возвращаемся к замене и вычисляем
вычисления
вычисления

 

Пример 7. Найти решение уравнения.
логарифмическое уравнение, пример

Решение. Не пугайтесь подобных задач, если делать все по правилам то решение получается без труда. Забегая вперед скажу что корни в скобках к примеру отношения не имеют. Они для того чтобы напугать простых математиков.
Упростим сначала второй логарифм
упрощение
Дальше выполняем подстановку и сведения слагаемых под один логарифм
упрощение
Приравниваем к правой части уравнения и упрощаем
упрощение
упрощение
спрощення
потенцирование
Как видите — решение оказалось проще чем выглядело до решения, а результат x=100 только подтверждает это.

При решении логарифмических уравнений важно хорошо знать свойства логарифмов. Все остальные действия сводятся, как правило, к решению квадратных уравнений или степенных зависимостей относительно неизвестных. Поэтому практикуйте самостоятельно и не имейте проблем с логарифмическими уравнениями.

Ссылка на основную публикацию