Содержание
- Основные понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка и их решениях
- Линейное однородное дифференциальное уравнения второго порядка и его решение
- Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика
Основные понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка и их решениях
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
y» + p(x)y‘ + q(x)y = f(x),
где y — функция, которую требуется найти, а
p(x), q(x) и f(x) —
непрерывные функции на некотором интервале (a, b).
Если правая часть уравнения равна нулю (f(x) = 0),
то уравнение называется линейным однородным уравнением. Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая
часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю (f(x) ≠ 0),
то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (смотрите отдельный урок).
В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y»:
y» = −p(x)y‘ − q(x)y + f(x).
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение
задачи Коши.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
y» + p(x)y‘ + q(x)y = 0.
Если y1(x) и
y2(x) — частные решения этого
уравнения, то верны следующие высказывания:
1) y1(x) + y2(x) —
также является решением этого уравнения;
2) Cy1(x),
где C — произвольная постоянная (константа), также является решением
этого уравнения.
Из этих двух высказываний следует, что функция
C1y1(x) + C2y2(x)
также является решением этого уравнения.
Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением
линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то есть таким решением, в котором при
различных значениях C1 и
C2 можно получить все возможные решения
уравнения?
Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том,
какими свойствами должны обладать частные решения y1(x) и
y2(x).
И это условие называется условием линейной независимости частных решений.
Теорема. Функция C1y1(x) + C2y2(x)
является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции
y1(x) и
y2(x) линейно независимы.
Определение. Функции y1(x) и
y2(x) называются линейно
независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:
y1(x)/y2(x) = k;
k = const; k ≠ 0.
Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто
очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W(x):
.
Если определитель Вронского не равен нулю, то решения —
линейно независимые. Если определитель Вронского равен нулю, то решения — линейно зависимымые.
Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения .
Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность
второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с
экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются
и .
Так как определитель Вронского
не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного
уравнения можно записать в виде
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y» + py‘ + qy = 0,
где p и q — постоянные величины.
На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность — нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.
Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида
k² + pq + q = 0,
которое, как видно, является обычным квадратным уравнением.
В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных
варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами, которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать,
что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю.
Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.
Корни характеристического уравнения — действительные и различные
Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни
и
— вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения:
и
. Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни
и
— вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения:
и
. Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Корни характеристического уравения — вещественные и равные
То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни
. Соответствующие частные решения уравнения:
и
. Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни
. Соответствующие частные решения уравнения:
и
. Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Корни характеристического уравнения — комплексные
То есть, ,
,
. В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Пример 6. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни
и
. Соответственно
и
. Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид
.
Пример 7. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Характеристическое уравнение
имеет комплексные
корни и
. Соответственно
и
. Общее решение
данного дифференциального уравения имеет вид
.
Решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Пример 9. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Посмотреть правильные решения и ответы примеров 8 и 9.
Поделиться с друзьями