Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

  • Основные понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка и их решениях
  • Линейное однородное дифференциальное уравнения второго порядка и его решение
  • Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика

Основные понятия о линейных дифференциальных уравнениях второго порядка и их решениях

Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

y» + p(x)y‘ + q(x)y = f(x),

где y — функция, которую требуется найти, а
p(x), q(x) и f(x)
непрерывные функции на некотором интервале (a, b).

Если правая часть уравнения равна нулю (f(x) = 0),
то уравнение называется линейным однородным уравнением. Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая
часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю (f(x) ≠ 0),
то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (смотрите отдельный урок).

В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y»:

y» = −p(x)y‘ − q(x)y + f(x).

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение
задачи Коши.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка и его решение

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

y» + p(x)y‘ + q(x)y = 0.

Если y1(x) и
y2(x) — частные решения этого
уравнения, то верны следующие высказывания:

1) y1(x) + y2(x)
также является решением этого уравнения;

2) Cy1(x),
где C — произвольная постоянная (константа), также является решением
этого уравнения.

Из этих двух высказываний следует, что функция

C1y1(x) + C2y2(x)

также является решением этого уравнения.

Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением
линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
, то есть таким решением, в котором при
различных значениях C1 и
C2 можно получить все возможные решения
уравнения?

Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том,
какими свойствами должны обладать частные решения
y1(x) и
y2(x).

И это условие называется условием линейной независимости частных решений.

Теорема. Функция C1y1(x) + C2y2(x)
является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции
y1(x) и
y2(x) линейно независимы.

Определение. Функции y1(x) и
y2(x) называются линейно
независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:

y1(x)/y2(x) = k;
k = const; k ≠ 0.

Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто
очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W(x):

.

Если определитель Вронского не равен нулю, то решения —
линейно независимые
. Если определитель Вронского равен нулю, то решения — линейно зависимымые.

Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения .

Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность
второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с
экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются
и .

Так как определитель Вронского

не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного
уравнения можно записать в виде

.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: теория и практика

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y» + py‘ + qy = 0,

где p и q — постоянные величины.

На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность — нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.

Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида

k² + pq + q = 0,

которое, как видно, является обычным квадратным уравнением.

В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных
варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами
, которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать,
что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю.
Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.

Корни характеристического уравнения — действительные и различные

Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 2. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

.

Пример 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид , его корни и — вещественные и различные. Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

.

Корни характеристического уравения — вещественные и равные

То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 4. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

Пример 5. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет равные корни . Соответствующие частные решения уравнения: и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

.

Корни характеристического уравнения — комплексные

То есть, , , . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

.

Пример 6. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни и . Соответственно и . Общее решение данного дифференциального уравения имеет вид

.

Пример 7. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Решение. Характеристическое уравнение
имеет комплексные
корни и
. Соответственно
и
. Общее решение
данного дифференциального уравения имеет вид

.

Решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 8. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Пример 9. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение

.

Посмотреть правильные решения и ответы примеров 8 и 9.

Поделиться с друзьями

Ссылка на основную публикацию