Интегрирующий множитель для уравнение в полных дифференциалах

Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0)
левая часть которого является полным дифференциалом некоторой функции
U(x,y), то есть dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy.
Напомним, что полный диференциал функции U находится по формуле
полный диференцiал функции Условие проверки уравнения на соответствие полному дифференциалу имеет вид
условие проверки на полный дифференциал (1)

Уравнение сводные к ДР в полных дифференциалах

В некоторых случаях зависимость
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
не является уравнением в полных дифференциалах, не выполняется условие (1). Однако существует функция «мю» такова, что если на нее умножить первоначальное уравнение то получим уравнением в полных дифференциалах.
Необходимым и достаточным условием этого является равенство между собой частных производных

Функция «мю» называют интегрирующим множителем.
Таким образом кроме ДУ относительно функции u(x,y) на практике приходится решать дифференциальное уравнение в частных производных относительно интегрирующего множителя.
Но до сих пор остается открытым вопрос, как искать интегрирующий множитель?

Как найти интегрирующий множитель?

В теории обычно методика уже разработана и интегрирующий множитель следует искать в виде
где «омега» — известная функция одной или двоих переменных.
В этом случае получаем
интегрирующий множительПосле подстановки в условие полного дифференциала получим
Разделим переменные в последней строке
Проинтегрировав и положив постоянную интегрирования равной нулю находим интегрирующий множитель
интегрирующий множительРассмотрим частные случаи.
1) Пусть «омега» равна аргументу. Тогда некоторые частные производные равны нулю, а интегрирующий множитель находят по формуле
интегрирующий множитель2) Если «омега» ровна y то формула вычисления интегрирующего множителя имеет вид
интегрирующий множитель3) В случае когда «омега» равна сумме или разности квадратов переменных интегрирующий множитель находим по формуле
интегрирующий множитель4) И вариант когда имеем произведение переменных дает следующую зависимость для определения мю
интегрирующий множительВывод формулы интегрирующего множителя без практики Вас ничего не научит, поэтому рассмотрим задачи из контрольной работы на которых Вы увидите суть всех приведенных выше формул. Примеры задавали во Львовском национальном университете им. И. Франка .

Уравнение в полных дифференциалах. Задача Коши.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение и задачу Коши
задача  КошиРешение: Выпишем множители при дифференциалах
множители при дифференциалах
и проверим выполняется ли условие полного дифференциала функции двух переменных
условие полного дифференциала
Как видим, левая часть уравнения не является полным дифференциалом (условие не выполняется). Проверим допускает ли дифференциальное уравнение интегрирующий множитель
интегрирующий множитель
С правой стороны видим, что данное уравнение допускает множитель интегрирования, причем он зависит только от y.
Найдем интегрирующий множитель из дифференциального уравнения с отделенными переменными
интегрирующий множитель
После умножения всех членов уравнения на найденный интегрирующий множитель «мю» () получим Ду первого порядка
уравнения в дифференциалах
Если вновь проверить ДУ, то тепер условие на полный дифференциал некоторой функции выполняется
условие полного дифференциала
Далее будем решать полученное ДУ, как в случае обычного полного дифференциала. Проинтегрируем второе слагаемое по y
вычисления диф. уравнения
Запомните правило — если интегрирования идет по y, то сталая зависит от «икса», и наоборот.
Сталую которая входит в уравнения определяют вычислением частичной производной найденного решение по «икс» и приравниванием до множителя в ДУ при dx.
нахождения постоянной
Отсюда находим постоянную
обчислення сталої
Учитывая все вышеизложенное, записываем общий интеграл дифференциального уравнения

В задании необходимо найти частичное решение (задачу Коши). Для этого записываем дополнительное условие на функцию и определяем сталую
решение задача Коши
Отсюда имеем частичное решение дифференциального уравнения

Оно пока записано в неявной форме, однако в этом случае можем найти зависимость функции от переменной y(x):
частичный решение уравнения — частичное решение дифференциального уравнения.

 

Пример 2.Найти решение задачи Коши
задача КошиРешение: Записываем заданное дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциалах
уравнения в дифференциалах
Далее проверим имеем ли полный дифференциал, выписываем множители
множители при дифференциале
и находим частные производные
частные производные
Условие на полный дифференциал не выполняется.
Проверим не допускает это уравнение интегрирующего множителя
условие существования интегрирующего множителя
Видим что данное уравнение допускает интегрирующий множитель который зависит только от y. Найдем его интегрированием уравнения
нахождения интегрирующего множителя
После умножения всех членов уравнения на найденный интегрирующий множитель исходное ДУ преобразуется к виду
уравнения
что соответствует уравнению в полных дифференциалах

Как решить такое уравнение Вы уже знаете, поэтому переходим к интегрированию для простоты второго доданка (возле dx)
интегрирования диф. уравнения
Чтобы определить постоянную — ищем частную производную функции u по «икс» и приравниваем ко второму множителя в полном дифференциале
вычисления постоянной
На этот раз сталая функции не ровна константе и для ее установки нужно найти несколько интегралов
вычисления интеграла
Общий интеграл дифференциального уравнения при подстановке C(x) примет вид
общий интеграл дифференциального уравнения
Решим задачу Коши для ДУ
частковий розв'язок рівняння
Отсюда имеем
частичный решение дифференциального уравнения частичное решение дифференциального уравнения.

 

Пример 3. Найти решение уравнения при условии Коши
Диф. р-ния, задача КошиРешение: Перепишем ДУ расписав производную дифференциалами
уравнения в дифференциалах
Далее действуем по методике для таких уравнений.
Выписываем множители возле дифференциалов

Проверяем условие на полный дифференциал функции
условие полного дифференциала
Условие не выполняется. Проверим, допускает ли интегрирующий множитель данное уравнение ?

Как видим правая сторона зависима от y поэтому уравнение допускает интегрирующий множитель.
Найдем его из ДУ
интегрирующий множитель
После умножения всех членов уравнения на интегрирующий множитель «мю» получим следующее уравнение
уравнения в дифференциалах
Условие полного дифференциала подтверждается
().
Далее применяем методику для ДУ в полных дифференциалах. С первого слагаемого уравнения интегрированием находим зависимость u(y)

Далее вычисляем частную производную функции u(x,y) по «икс»
частичная производная
и сравниваем с частичной производной начального уравнения

Нетрудно найти отсюда константу

Возвращаемся и записываем общий интеграл дифференциального уравнения
общий интеграл дифференциального уравнения
По условию необходимо найти частичный интеграл уравнения (решить задачу Коши). Для этогоопределяем значение функции в точке
задача Коши
Константа равна 2, а частичное решение ДУ
частичный решение
Для ясности ответа найдем (обратную) зависимость х(у):
— частичное решение уравнения
Красивый ответ несмотря на массу преобразований и интегралов.

Из приведенных ответов Вы получили полезную инструкцию для вычислений. Для проверки полученных знаний самостоятельно найдите решение уравнений, используя интегрирующий множитель
Оставайтесь с нами, впереди еще много готовых примеров дифференциальных уравнений.

Ссылка на основную публикацию