Дробно рациональные уравнения. Решения

Уравнение которые можно свести к дроби f(x)/g(x)=0 называется дробно рациональным уравнением.
Решение дробно рациональных уравнений не слишком сложная задача если Вы знаете методику, а она достаточно проста.
Если уравнение имеет несколько слагаемых то переносим их по одну сторону знака равенства и сводим к общему знаменателю. В результате получим дробную функцию f(x)/g(x), которая равна нулю

дробно рациональное уравнение

Следующим шагом находим корни числителя. Отвергаем среди них те, которые не принадлежат области допустимых значений (нули знаменателя) и записываем правильный ответ.

В теории все просто, однако на практике и у школьников и у студентов возникают проблемы при сведены к общему знаменателю, отыскании корней и т.д. Для ознакомления с решением рассмотрим несколько распространенных задач.

Примеры дробно рациональных уравнений

Пример 1. Найти корни уравнения
дробно рациональное уравнение, пример

Решение: По методике переносим слагаемые и сводим к общему знаменателю
вычисления
вычисления

Приравниваем числитель и знаменатель к нулю и находим корни. Первое уравнение можем решить по теореме Виета
квадратное уравнение

Второе раскладываем на множители
разложение на множители

Если от корней числителя отбросить нули знаменателя то получим только одно решение x=-7.

Внимание: Всегда проверяйте совпадают ли корни числителя и знаменателя. Если такие есть то не учитывайте их в ответе.

Ответ: х=-7.

————————————

Пример 2. Решить уравнение
дробно рациональное уравнение, пример

Решение: Задано дробное рациональное уравнение. Находим сначала корни числителя, для этого решаем квадратное уравнение
разложение на множители

Вычисляем дискриминант
дискриминант

и корни уравнения
корни уравнения

Получили три нуля числителя .
Квадратное уравнение в знаменателе проще и можем решить по теореме Виета

теорема Виета

Числитель и знаменатель не имеют общих корней поэтому все три найденные значения решения будут решениями.

————————————

Пример 3. Найти корни уравнения
дробно рациональное уравнение, пример

Решение: Переносим слагаемое за знак равенства
вычисления
и сводим к общему знаменателю
дробно рациональное уравнение, пример

Раскрываем в числителе скобки и сводим к квадратному уравнению

дробно рациональное уравнение
дробно рациональное уравнение

Полученное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений
система двух уравнений

Корни первого вычисляем через дискриминант
дискриминант
корни уравнения

Нули второго находим без проблем

Исключаем из решений числителя значение и получим.

Ответ: х=3.

————————————

Задачи на движение

Задача 4. Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра если скорость в штиль составляет 45 км/час.

Решение:
Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час. По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу.
Разделив расстояние на скорость и просуммировав получим время
дробно рациональное уравнение, пример

Получили дробно рациональное уравнение схема решения которого неоднократно повторялась
дробно рациональное уравнение
дробно рациональное уравнение
система уравнений

Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45.

Корни числителя найдем после упрощений
квадратное уравнение
корни уравнения

С физических соображений первое решение отвергаем.

Ответ: скорость ветра 15 км/час.

————————————

Задачи о совместной работе

Задача 2. Два лесорубы работая вместе выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше чем другому?

Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней.
Это означает что за один день первый выполнит , а второй — часть всей нормы. По условию выполняют норму за 4 дня, то есть оба в день могут выполнить нормы.
Составляем и решаем уравнение
дробно рациональное уравнение, пример

Данное дробно рациональное уравнение эквивалентно системе двух уравнений
система уравнений
дискриминант
корни уравнения

Одно решение не соответствует физической сути задачи. Время второго лесоруба
х+6=6+6=12 (дней)

Ответ: Работу первый лесоруб выполнит за 6 дней, а второй за 12.

————————————

Подобных дробно рациональных уравнений можно рассмотреть множество, схема их решения неизменна. В теоретических задачах правильно составляйте уравнение и не заблуждайтесь при сведении к общему знаменателю. Все остальное сводится к решению преимущественно линейных или квадратных уравнений.

Ссылка на основную публикацию