Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

  • Что называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах?
  • Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах
  • Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Что называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах?

Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,

где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.

Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении
уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней.

Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен
быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.

Второе — должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением
того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Эта проверка
является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе
этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий
и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.

Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F.
Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением
в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по
определению

dF = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:

.

Решая два последних равенства, можем записать

.

Первое равенство дифференцируем по переменной «игрек», второе — по переменной «икс»:

.

Так как

,

получим

,

что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой
уравнение в полных дифференциалах.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
того, чтобы выражение было
полным дифференциалом некоторой функции F(x, y), необходимо и достаточно, чтобы .
Иными словами, нужно взять частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения и частную
производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы —
по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:

,

где — пока неизвестная функция от y.

Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) — проинтегрировать второе уравнение системы
по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла).
Таким образом так же восстанавливается функция F:

,

где — пока неизвестная функция от х.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y
(в альтернативном варианте — по x) и приравнять ко второму уравнению системы:

,

а в альтернативном варианте — к первому уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем
(в альтернативном варианте )

Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти
(в альтернативном варианте найти ).

Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства — в правой части уравнения.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет
вид F(x, y) = C.

Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения

и частную
производную по y другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы —
по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:



где — пока неизвестная функция от y.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y

и приравняем ко второму уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки — принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл
произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную
двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.

Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится
за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения
находится как производная «действующей» переменной, умноженной на константу.

Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость — примеры с экспонентой. Таков следующий пример.
Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения

и частную
производную по y другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы —
по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:



где — пока неизвестная функция от х.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х

и приравняем к первому уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
.

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

В следующем примере возвращаемся от альтернативного варианта к основному.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения

и частную
производную по x другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы —
по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:



где — пока неизвестная функция от y.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y

и приравняем ко второму уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения

и частную
производную по x другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы —
по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:



где — пока неизвестная функция от y.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y

и приравняем ко второму уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения

и частную
производную по x другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы (так удобнее) —
по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:



где — пока неизвестная функция от х.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х

и приравняем к первому уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
.

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

и частное решение при условии .

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для
этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения

и частную
производную по x другого слагаемого
.
Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F:

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы —
по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F:



где — пока неизвестная функция от y.

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y

и приравняем ко второму уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 — в восстановленную частным интегрированием
функцию F. Произвольную постоянную C записываем после знака равенства.
Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:
.

Подставляем значения для y и x и находим частное решение дифференциального уравнения:

Поделиться с друзьями

Ссылка на основную публикацию