Содержание
- Дифференциальные уравнения, в которых переменные уже разделены
- Дифференциальные уравнения, в которых требуется разделить переменные
- Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть решения
- Продолжаем решать примеры вместе
Дифференциальные уравнения, в которых переменные уже разделены
Дифференциальные уравнения, в которых выражение, зависящее от y, входит только
в левую часть, а выражение, зависящее от x — только в правую часть, это дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными, в которых переменные уже разделены.
В левой части уравнения может находиться производная от игрека и в этом случае решением дифференциального
уравнения будет функция игрек, выраженная через значение интеграла от правой части уравнения. Пример такого уравнения —
.
В левой части уравнения может быть и дифференциал функции от игрека и тогда для получения решения уравнения
следует проинтегрировать обе части уравнения. Пример такого уравнения —
.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Пример очень простой. Непосредственно находим функцию по её производной, интегрируя:
Таким образом, получили функцию — решение данного уравнения.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Интегрируем обе части уравнения:
.
Оба интеграла — табличные. Идём к решению:
Функция — решение уравнения — получена. Как видим, нужно только уверенно знать табличные интегралы и
неплохо расправляться с дробями и корнями.
Дифференциальные уравнения, в которых требуется разделить переменные
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых требуется разделить переменные,
имеют вид
.
В таком уравнении 
и
— функции только переменной x,
а 
и 
—
функции только переменной y.
Поделив члены уравнения на произведение 
,
после сокращения получим
.
Как видим, левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от y, то есть
переменные разделены.
Левая часть полученного уравнения — дифференциал некоторой функции переменной x, а правая часть —
дифференциал некоторой функции переменной y. Для получения решения исходного дифференциального уравнения
следует интегрировать обе части уравнения. При этом при разделении переменных не обязательно переносить один его член
в правую часть, можно почленно интегрировать без такого переноса.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение
почленно на произведение 
и получим
.
Почленно интегрируем:
,
откуда, используя метод замены переменной (подстановки), получаем
или 
,
поскольку левая часть равенства есть сумма арифметических значений корней. Таким образом, получили
общий интеграл данного уравнения. Выразим из него y и найдём общее решение уравнения:
.
Есть задачи, в которых для разделения переменных
уравнение нужно не делить почленно на произведение некоторых функций, а почленно умножать. Таков следующий пример.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Бывает, что забвение элементарной (школьной) математики мешает даже близко подойти к началу решения,
задача выглядит абсолютно тупиковой. В нашем примере для начала всего-то нужно вспомнить свойства степеней.
Так как 
, то
перепишем данное уравнение в виде
.
Это уже уравнение с разделяющимися переменными. Умножив его почленно на произведение 
, получаем
.
Почленно интегрируем:
Первый интеграл находим интегрированием по частям, а второй — табличный.
Следовательно,
.
Логарифимруя обе части равенства, получаем общее решение уравнения:
.
Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть правильные решения
Пример 5. Найти общее решение диффференциального уравнения
.
Правильное решение и ответ.
Пример 6. Найти общее решение диффференциального уравнения
.
Правильное решение и ответ.
Продолжаем решать примеры вместе
Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение
почленно на 
и получим
.
Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.
Пусть 
, 
.
Тогда 
, 
.
Находим общее решение уравнения:
Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее условию 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение
почленно на 
и получим
или
.
Записываем производную y в виде 
и получаем
Разделяем dy и dx и получаем уравнение:
, которое почленно интегрируя:
,
находим общее решение уравнения:
.
Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и
x из начального условия:
.
Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:
.
В некоторых случаях ответ (функцию) можно выразить явно. Для этого следует воспользоваться тем свойством
логарифма, что сумма логарифмов равна логарифму произведения логарифмируемых выражений. Обычно это следует делать в
тех случаях, когда слева искомая функция под логарифмом находится вместе с каким-нибудь слагаемым. Рассмотрим два
таких примера.
Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных запишем производную
«игрека» в виде 
и получим
.
Разделяем «игреки» и «иксы»:
.
Почленно интегрируем и, так как в левой части «игрек» присутствует со слагаемым, в правой части
константу интегрирования записываем также под знаком логарифма:
.
Теперь по свойству логарифма 
имеем
.
Находим общее решение уравнения:
Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее условию 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение
почленно на 
и получим
или
.
Разделяем dy и dx и получаем уравнение:
которое почленно интегрируя:
находим общее решение уравнения:
.
Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и
x из начального условия:
.
Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:
.
Выводы. В дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными, как в тех, в
которых переменные уже разделены, так и в тех, где переменные требуется разделить, существуют однозначные способы решения,
на основе которых может быть построен простой алгоритм. Если недостаточно уверенно освоен материал по нахождению производной и решению
интегралов, то требуется его повторить. Во многих задачах на путь к решению уравнения наводят знания и приёмы из
элементарной (школьной) математики.
Поделиться с друзьями
Загрузка...
