Дифференциальным уравнением Бернулли называется уравнение вида
,
где m ≠ 0 и m ≠ 1.
Таким образом, дифференциальное уравнение Бернулли обязательно содержит функцию
y в степени, отличной от нуля и единицы.
В случае, если m = 0, уравнение
является линейным, а в случае, если m = 1, уравнение
является уравнением с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение Бернулли можно решить двумя методами.
- Переходом с помощью подстановки к линейному уравнению.
- Методом Бернулли.
Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению.
Уравнение делим на :
,
.
Обозначим .
Тогда , откуда
. Переходя к новой
переменной, получим уравнение
,
которое является линейным дифференциальным уравнение первого порядка. Его можно решить
методом вариации константы Лагранжа или методом Бернулли.
Решение методом Бернулли.
Решение следует искать в виде произведения двух функций y = u ⋅ v.
Подставив его в дифференциальное уравнение, получим уравнение
.
Из слагаемых, содержащих функцию u в
первой степени, вынесем её за скобки:
.
Приравняв выражение в скобках нулю, то есть
,
получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для определения функции
v.
Функцию u следует находить из дифференциального
уравнения
,
которое также является уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Решим дифференциальное уравнение двумя методами.
1. Переход от уравнения Бернулли к линейному уравнению. Данное уравнение умножим на
y³:
.
Введём обозначение , тогда
,
и приходим к уравнению
или
.
Решим его методом Бернулли. В последнее уравнение подставим z = u ⋅ v,
z‘ = u‘v + uv‘:
,
.
Выражение в скобках приравняем нулю и решим полученное дифференциальное уравнение:
Полученную функцию v подставим в уравнение:
Тогда
2. Методом Бернулли. Ищем решение в виде произведения двух функций
y = u ⋅ v. Подставив
его и y‘ = u‘v + uv‘
в данное дифференциальное уравнение, получим
Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:
Полученную функцию v подставим в уравнение и
определим функцию u:
И, наконец, найдём решение данного дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Это уравнение, в котором m = −1.
Применив подстановку y = u ⋅ v,
получим
Выражение в скобках приравняем нулю и определим функцию v:
Полученную функцию v подставим в уравнение и
определим функцию u:
Таким образом, получаем решение данного дифференциального уравнения:
.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Это уравнение можно решить, используя подстановку
y = u ⋅ v. Получаем
Приравняем нулю выражение в скобках и решим полученное уравнение с разделяющимися
переменными:
Подставляем v в данное уравнение и решаем
полученное уравнение:
или
Разделим переменные:
и проинтегрируем обе части уравнения:
Далее используем подстановку
:
.
Введём обозначения:
Продолжаем:
Таким образом, получаем функцию u:
.
и решение данного дифференциального уравнения:
Пример 4. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
при условии .
Решение. Перепишем уравнение, перенося в левую сторону линейные слагаемые, а в правую —
нелинейные:
.
Это уравнение Бернулли, которое можно решить, используя подстановку
y = u ⋅ v,
y‘ = u‘v + uv‘:
Выражение в скобках приравняем нулю и решим дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными:
Подставим функцию v в данное уравнение и
решим полученное дифференциальное уравнение:
Вычислим каждый интеграл отдельно. Первый:
.
Второй интеграл интегрируем по частям. Введём обозначения:
Решаем:
Приравниваем друг другу найденные значения интегралов и находим функцию
u:
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения:
.
Используем начальное условие, чтобы определить значение константы:
Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию:
В результате получаем следующее частное решение данного дифференциального уравнения:
.
И напоследок — пример с альтернативным обозначением производных — через дробь.
Пример 5. Решить дифференциальное уравнение Бернулли
.
Решение. Решим это уравнение первым из представленных в теоретической части методом —
переходом к линейному уравнению. Разделив данное уравнение почленно на y³,
получим
.
Введём новую функцию . Тогда
.
Подставляя эти значения в уравнение, полученное на первом шаге, получим линейное уравнение:
.
Найдём его общий интеграл:
,
.
Подставляя эти значение в полученное линейное уравнение, получаем
или
.
Приравниваем нулю выражение в скобках:
Для определения функции u получаем уравнение
.
Разделяем переменные:
Интегрируем по частям:
Таким образом, общий интеграл данного уравнения
или
.
Поделиться с друзьями