5. Возвратные уравнения

Определение. Полином

    [f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+ldots+a_{n-1}x+a_n]

называется возвратным, если a_0=a_n,a_1=a_{n-1},ldots,a_j=a_{n-j},ldots, т.е. последовательность его коэффициентов (a_0,a_1,ldots,a_n) симметрична относительно середины.

Пример. displaystyle (x+1)^n=sum_{k=0}^n{sf C}_n^kx^k — бином.

Возвратные полиномы можно определить так. Обозначим через

    [f_t(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ldots+a_0.]

f возвратен тогда и только тогда, когда

    [fequiv f_t.]

Но

    [f_t=x^nleft( a_n+a_{n-1}{1over x}+ldots+a_1{1over x^{n-1}}+a_0{1over x^n}right)=x^nfleft({1over x}right).]

Итак, возвратные полиномы удовлетворяют функциональному соотношению

    [f(x)=x^nfleft({1over x^n}right).]

Теорема. Если n нечетно, то возвратный полином имеет корень x_1=-1.

Доказательство. Вычислим f(-1). По только что записанному

    [f(-1)=(-1)^nf(-1)=-f(-1)Longrightarrow f(-1)=0.]

Таким образом, возвратный полином f нечетной степени можно представить в виде f=(x+1)f_1. Можно доказать, что f_1 тоже возвратный полином (уже четной степени).

Как найти его корень?

Пример. Решить уравнение

    [x^4+4x^3+4x+1=0.]

Разделим обе части на x^2

    [x^2+4x+{4over x}+{1over x^2}=0]

и объединим

    [left( x^2+{1over x^2}right)+4left( x+{1over x}right)=0.]

Введем новую переменную displaystyle u=x+{1over x}. Тогда displaystyle u^2=x^2+{1over x^2}+2 и уравнение превращается в квадратное u^2-2+4u=0. Его решить нетрудно. Найдя u_1,u_2, подставим их в displaystyle u_{1,2}=x+{1over x} и снова решаем два квадратных уравнения.

Задачи.

Решите уравнения

1. 6x^4-13x^3+12x^2-13x+6=0,

2. 2x^4-15x^3+40x^2-45x+18=0,

3. 6x^4-25x^3+12x^2+25x+6=0,

4. 2x^5-3x^4-x^3-x^2-3x+2=0,

5. displaystyleleft(frac{x^2-2x+3}{x}right)^2-5x=frac{15}{x}-16.

Ссылка на основную публикацию