31. Простейшие тригонометрические уравнения

I. Уравнение cos x=cosalpha

Теорема. Множество решений уравнения cos x=cosalpha есть множество

    [{pmalpha+2pi k|kinmathbb{Z}} .]

Доказательство.

    [begin{array}{l} displaystyle cos x=cosalphaLeftrightarrowcos x-cosalpha=0 Leftrightarrow-2sin{x-alphaover 2}sin{x+alphaover 2}=0,\[3mm] displaystyle {bf 1.} sin{x-alphaover 2}=0Leftrightarrow{x-alphaover 2}=pi k, kinmathbb{Z}Leftrightarrow x=alpha+2pi k, kinmathbb{Z},\[3mm] displaystyle {bf 2.} sin{x+alphaover 2}=0Leftrightarrow{x+alphaover 2}=pi k, kinmathbb{Z}Leftrightarrow x=-alpha+2pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]

II. Уравнение sin x=sinalpha

Теорема. Множество решений уравнения sin x=sinalpha есть множество

    [{alpha+2pi k;pi-alpha+2pi k|kinmathbb{Z}} .]

Доказательство. Воспользуемся рисунком (рис. 40):

Рис. 40

    [begin{array}{l} sin x=sinalphaLeftrightarrowsin x-sinalpha=0Leftrightarrow\[3mm] displaystyle Leftrightarrow2sin{x-alphaover 2}cos{x+alphaover 2}=0.\[3mm] displaystyle {bf 1.} sin{x-alphaover 2}=0Leftrightarrow {x-alphaover 2}=pi k, kinmathbb{Z}Leftrightarrow x=alpha+2pi k, kinmathbb{Z} .\[3mm] displaystyle {bf 2.} cos{x+alphaover 2}={piover 2}+pi kLeftrightarrow x=pi-alpha+2pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]

Следствие. Множество решений уравнения sin x=sinalpha есть множество

    [{(-1)^nalpha+pi n|ninmathbb{Z}}.]

Доказательство. Если n — четное число, n=2k, kinmathbb{Z}

    [(-1)^nalpha+pi n=alpha+2pi k, kinmathbb{Z} .]

Если n нечетно, n=2k+1, kinmathbb{Z}

    [(-1)^nalpha+pi n=pi-alpha+2pi k, kinmathbb{Z}.]

III. Уравнение {rm tg}, x={rm tg},alpha

Теорема. Множество решений уравнения {rm tg}, x={rm tg},alpha есть множество

    [{alpha+pi k|kinmathbb{Z}} .]

Доказательство.

    [begin{array}{c}displaystyle {rm tg}, x={rm tg}, alphaLeftrightarrow{rm tg}, x-{rm tg},alpha=0Leftrightarrow\[3mm] displaystyle Leftrightarrow{sin xover cos x}-{sinalphaover cosalpha}=0Leftrightarrow {sin xcosalpha-cos xsinalphaover cos xcosalpha}=0 Leftrightarrow{sin(x-alpha)over cos xcosalpha}=0,\[3mm] x=alpha+pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]

Нужно проверить, что при этом cos xne0. Но cos(alpha+pi k)=pmcosalphane0, так как определен {rm tg},alpha.

IV. Уравнение {rm ctg}, x={rm ctg},alpha

Теорема. Множество решений уравнения {rm ctg}, x={rm ctg},alpha есть множество

    [{alpha+pi k|kinmathbb{Z}}.]

Доказательство.

    [begin{array}{c} displaystyle {rm ctg}, x={rm ctg},alphaLeftrightarrow{rm ctg}, x-{rm ctg}, alpha=0Leftrightarrow\[3mm] displaystyle Leftrightarrow{cos xover sin x}-{cosalphaover sinalpha}=0Leftrightarrow {cos xsinalpha-sin xcosalphaover sin xsinalpha}=0 Leftrightarrow{sin(alpha-x)over sin xsinalpha}=0,\[3mm] x=alpha+pi k, kinmathbb{Z} . end{array}]

Нужно проверить, что при этом sin xne0. Но sin(alpha+pi k)=pmsinalphane0, так как определен {rm ctg},alpha.

Определение. Пусть |a|le1. Арксинусом числа a называется число displaystyle alphainleft[-{piover 2};{piover 2}right], синус которого равен a>.

Определение. Пусть ainmathbb{R}. Арктангенсом числа a называется число displaystyle alphainleft(-{piover 2};{piover 2}right), тангенс которого равен a.

Задачи.

1) Решите следующие уравнения:

1. sin t=1.

2. cos t=-1.

3. sin t=1/2.

4. cos t=-sqrt{2}/2.

2) Решите следующие неравенства:

1. cos t >0.

2. sin tle sqrt{3}/3.

3. displaystyle frac{1}{sin t} < 2.

Ссылка на основную публикацию