Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнение при
решений не имеет,
при имеет решения
,
при имеет решения
,
при имеет решения
,
при всех остальных имеет решения
.
Уравнение при
решений не имеет,
при имеет решения
,
при имеет решения
>,
при имеет решения
,
при всех остальных имеет решения
.
Уравнение имеет решения
.
Уравнение имеет решения
.
Приемы решения тригонометрических уравнений
1. Сведение к одной функции
1. заменяем на
,
— на
.
Пример 1.
Пример 2.
2. заменяем на
,
— на
,
— на
.
Пример 1.
1) 2)
,
В первом случае решений нет, во втором .
Пример 2.
Пример 3.
3. Однородные уравнения относительно .
Если , то деля обе части уравнения на
или на
, получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть
— корень уравнения и
. Подставляя в уравнение, получаем, что и
, а это невозможно.
Пример.
4. Уравнения, приводящиеся к однородным
а) Домножение на
Пример.
б) Переход к половинному аргументу
Пример.
5. Использование формулы
Пример.
6. Замена .
Пример.
Разложение на множители
1. Формулы преобразования суммы в произведение
2. Формулы
Пример 1.
Ответ. .
Пример 2.
, решений нет,
Ответ. ,
.
Понижение степени
Использование формул
Сравнение левой и правой части
Пример 1.
что невозможно.
Ответ. .
Пример 2.
Ответ. .
Пример 3.
Пусть
Подставляем во второе уравнение:
Ответ. .
Пример 4.
или
Если , то
. Если
, то
.
Ответ. .