24. Решение тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение sin x=a при |a|>1 решений не имеет,

при a=1 имеет решения displaystyle x=frac{pi}{2}+2pi k, kinmathbb{Z},

при a=-1  имеет решения displaystyle x=frac{3pi}{2}+2pi k, kinmathbb{Z},

при a=0 имеет решения x=pi k, kinmathbb{Z},

при всех остальных a имеет решения x=(-1)^k{rm arcsin},a+pi k, kinmathbb{Z}.

Уравнение cos x=a при |a|>1 решений не имеет,

при a=1 имеет решения x=2pi k, kinmathbb{Z},

при a=-1  имеет решения x=pi+2pi k, kinmathbb{Z}>,

при a=0 имеет решения displaystyle x=frac{pi}{2}+pi k, kinmathbb{Z},

при всех остальных a имеет решения x=pm{rm arccos},x+2pi k, kinmathbb{Z}.

Уравнение {rm tg}, x=a имеет решения x={rm arctg}, x+pi k, kinmathbb{Z}.

Уравнение {rm ctg}, x=a имеет решения x={rm arcctg}, x+pi k, kinmathbb{Z}.

Приемы решения тригонометрических уравнений

1. Сведение к одной функции

1. cos^2x заменяем на sin^2 x, {rm tg}, x — на {rm ctg}, x.

Пример 1.

    [begin{array}{l} sin^2 x+2sin x-3cos^2x+1=0,\ sin^2x+2sin x-3+3sin^2x+1=0,\ sin x=t,\ 4t^2+2t-2=0,\ 2t^2+t-1=0. end{array}]

    [begin{array}{ll} 1) sin x=-1&2) sin x=1/2\ displaystyle x=-{piover 2}+2pi k, kinmathbb{Z}& displaystyle x=(-1)^k{piover 6}+pi k, kinmathbb{Z} end{array}]

Пример 2.

    [begin{array}{l} {rm ctg}, x-3{rm tg}, x=0,\ displaystyle {1over {rm tg}, x}-3{rm tg}, x=0,\[3mm] 1-3{rm tg}^2x=0\ displaystyle {rm tg}^2x={1over 3}quad(Longrightarrowcos xne0,sin xne0),\[3mm] displaystyle {rm tg}, x=pm{1oversqrt{3}},\[2mm] displaystyle x=pm{piover 6}+pi k. end{array}]

2. cos2x заменяем на cos x, cos2x — на sin x, {rm tg},2x — на {rm tg}, x.

Пример 1.

    [begin{array}{l} 2cos2x=8cos x-1,\ cos x=t,\ 4t^2-8t-1=0,\ {cal D}/4=20,\ displaystyle t={4pm2sqrt{5}over 4}={2pmsqrt{5}over 2}. end{array}]

1) displaystylecos x={2+sqrt{5}over 2} 2) displaystylecos x={2-sqrt{5}over 2},
В первом случае решений нет, во втором displaystyle x=pmarccos{2-sqrt{5}over 2}+2pi k, kinmathbb{Z}.

Пример 2.

    [begin{array}{l} {rm tg},2x=3{rm tg}, x,\ displaystyle {2{rm tg}, xover 1-{rm tg}^2x}=3{rm tg}, x, end{array}]

    [begin{array}{ll} 1) {rm tg}, x=0&2) {rm tg}, xne0,\ x=pi k, kinmathbb{Z}&displaystyle {2over 1-{rm tg}^2x}=3,\[3mm] &3{rm tg}^2x-1=0,\ &{rm tg}^2x=1/3Rightarrowcos xne0, {rm tg}^2xne1,\ &displaystyle {rm tg}, x=pm{sqrt{3}over 3},\[3mm] &displaystyle x=pm{piover 6}+pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]

Пример 3.

    [begin{array}{ll} {rm tg},2x=3{rm ctg}, x&\ 1) displaystyle {2{rm tg}, xover 1-{rm tg}^2x}={3over {rm tg}, x} (cos xne0)&displaystyle cos x=0Longleftrightarrow x={piover 2}+pi k, kinmathbb{Z},\[3mm] 2{rm tg}^2x=3-3{rm tg}^2x&Longrightarrow{rm tg},2x={rm tg},(pi+2pi k)=0,\ 5{rm tg}^2x=3&{rm ctg}, x=0,\ displaystyle{rm tg}, x=pmsqrt{3over 5}Longrightarrowcos xne0,{rm tg}^2xne1&\ displaystyle x=pm{rm arctg},sqrt{3over 5}+pi k, kinmathbb{Z}.& end{array}]

3. Однородные уравнения относительно sin x,cos x.

    [begin{array}{l} asin x+bcos x=0,\ asin^2x+bsin xcos x+ccos^2x=0. end{array}]

Если ane0, то деля обе части уравнения на cos x или на cos^2 x, получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть x_0 — корень уравнения и cos x_0=0. Подставляя в уравнение, получаем, что и sin x_0=0, а это невозможно.

Пример.

    [begin{array}{ll} 2sin^2x-3sin xcos x+cos^2x=0,&\ 2{rm tg}^2x-3{rm tg}, x+1=0,&\ 1) {rm tg}, x=1&2) {rm tg}, x=1/2,\ displaystyle x={piover 4}+pi k, kinmathbb{Z}&displaystyle x={rm arctg},{1over 2}+pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]

4. Уравнения, приводящиеся к однородным

а) Домножение на sin^2x+cos^2x

Пример.

    [begin{array}{l} sin2x(sin x+cos x)=4sin x-2cos x,\ sin2xsin x+sin2xcos x=4sin^3x-2cos xsin^2x+ 4sin xcos^2x-2cos^3x,\ 2sin^2xcos x+2cos^2xsin x=4sin^3x-2cos xsin^2x+ 4sin xcos^2x-2cos^3x,\ 4sin^3x-4sin^2xcos x+2sin xcos^2x-2cos^3x=0,\ 2{rm tg}^3x-2{rm tg}^2x+{rm tg}, x-1=0,\ ({rm tg}, x-1)(2{rm tg}^2x+1)=0,\ {rm tg}, x=1,\ displaystyle x={piover 4}+pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]

б) Переход к половинному аргументу

Пример.

    [begin{array}{l} 11sin x-2cos x=10,\ displaystyle 22sin{xover 2}cos{xover 2}-2cos^2{xover 2}+2sin^2{xover 2}=10sin^2{xover 2}+10cos^2{xover 2},\[3mm] displaystyle 4{rm tg}^2{xover 2}-11{rm tg},{xover 2}+6=0,\[5mm] displaystyle {rm tg},{xover 2}={11pmsqrt{121-96}over 8}={11pm5over 8}. end{array}]

    [begin{array}{ll} displaystyle displaystyle{rm tg},{xover 2}=2&displaystyle{rm tg},{xover 2}={3over 4},\[3mm] x=2{rm arctg},2+2pi k, kinmathbb{Z}&displaystyle x={rm arctg},{3over 4}+2pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]

5. Использование формулы asinalpha+bcosalpha=sqrt{a^2+b^2}sin(alpha+{rm arctg},(b/a)), a>0

Пример.

    [begin{array}{l} sin x+cos x=1,\ sqrt{2}sin(x+pi/4)=1,\ sin(x+pi/4)=sqrt{2}/2,\ x=pi k, kinmathbb{Z}; x=pi/2+2pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]

6. Замена sin2xtosin xcos xtosin x+cos x,sin x-cos x.
Пример.

    [begin{array}{l} displaystyle{1over sin x}-{1over cos x}=1,\[3mm] cos x-sin x=sin xcos x,\ cos x-sin x=t,\ displaystyle sin xcos x={1-t^2over 2},\[3mm] 1-t^2=2t,\ t^2+2t-1=0,\ t=-1pmsqrt{2}. end{array}]

    [begin{array}{ll} cos x-sin x=-1+sqrt{2}&cos x-sin x=-1-sqrt{2},\ -sqrt{2}sin(x-pi/4)=-1+sqrt{2}&-sqrt{2}sin(x-pi/4)=-1-sqrt{2},\ x=pi/4+{rm arcsin},(1-1/sqrt{2})+2pi k, kinmathbb{Z}&emptyset,\ x=5pi/4-{rm arcsin},(1-1/sqrt{2})+2pi k, kinmathbb{Z}.& end{array}]

Разложение на множители

1. Формулы преобразования суммы в произведение

2. Формулы

    [begin{array}{l} sin2x=2sin xcos x,\ cos2x=cos^2x-sin^2x,\ sin^2x=1-cos^2x,\ cos^2x=1-sin^2x. end{array}]

Пример 1.

    [begin{array}{ll} cos2x=cos x+sin x,&\ 1) cos x+sin x=0,&2) cos x-sin x=1,\ 1+{rm tg}, x=0,&-sqrt{2}sin(x+{rm arctg},(-1))=1,\ {rm tg}, x=-1,&displaystylesinleft( x-pi/4right)=-{sqrt{2}over 2},\[3mm] displaystyle x={3piover 4}+pi k, kinmathbb{Z}&displaystyle x-{piover 4}=-{piover 4}+2pi k, x=2pi k, kinmathbb{Z},\[3mm] &displaystyle x-{piover 4}={5piover 4}+2pi k, x={3piover 2}+2pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]

Ответ. displaystyleleft{ 2pi k,{3piover 2}+2pi k|kinmathbb{Z}right}.

Пример 2.

    [begin{array}{l} sin x+sin^2x+cos^3x=0,\ sin x+1-cos^2x+cos^3x=0,\ sin x(1+sin x)+(1-sin^2x)cos x=0,\ sin x(1+sin x)+(1+sin x)(1-sin x)cos x=0,\ 1) 1+sin x=0,\ sin x=-1,\ displaystyle x=-{piover 2}+2pi k, kinmathbb{Z},\ 2) sin x+(1-sin x)cos x=0,\ sin x+cos x=t,\ displaystylesin xcos x={1over 2}(t^2-1),\[3mm] displaystyle t-{1over 2}t^2+{1over 2}=0,\[3mm] displaystyle {1over 2}t^2-t+{1over 2}=0,\[3mm] t=1pmsqrt{2}. end{array}]

    [1) sin x+cos x=1+sqrt{2}>sqrt{2}]

,  решений нет,

    [begin{array}{l} 2) sin x+cos x=1-sqrt{2},\ sqrt{2}sin(x+pi/4)=1-sqrt{2},\ displaystyle x+{piover 4}=arcsin{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi k, kinmathbb{Z},\[3mm] displaystyle x=-{piover 4}+arcsin{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi k, kinmathbb{Z},\[3mm] displaystyle x+{piover 4}=pi-arcsin{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi k, kinmathbb{Z},\[3mm] displaystyle x={3piover 4}-arcsin{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]

Ответ. displaystyleleft{-{piover 2}+2pi k,-{piover 4}+arcsin{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi kright., displaystyleleft.{3piover 4}-{rm arcsin},{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi kleft.right| kinmathbb{Z}right}.

Понижение степени

Использование формул

    [begin{array}{l} displaystyle cosalphacosbeta={1over 2}(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)),\[3mm] displaystyle sinalphasinbeta={1over 2}(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)),\[3mm] displaystyle sinalphacosbeta={1over 2}(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)),\[3mm] displaystyle cos^2alpha={1over 2}(1+cos2alpha),\[3mm] displaystyle sin^2alpha={1over 2}(1-cos2alpha). end{array}]

Сравнение левой и правой части

Пример 1.

    [begin{array}{l} 2sin^35x+7cos5x=9,\ 2sin^35xle2,\ 7cos5xle7,\ 2sin^35x+7cos^5xle9,\ Rightarrowleft{begin{array}{l} sin5x=1,\ cos5x=1, end{array}right. end{array}]

что невозможно.

Ответ. {}.
Пример 2.

    [begin{array}{l} displaystylesin^{19}x+cos^{19}x={piover 3},\[3mm] sin^2x+cos^2x=1,\ left.begin{array}{l} sin^{19}xlesin^2x,\ cos^{19}xlecos^2x, end{array}right|Rightarrowsin^{19}x+cos^{19}xle1,\ pi/3>1. end{array}]

Ответ. {}.
Пример 3.

    [begin{array}{l} sin3x+sin7x=2,\ left{begin{array}{l} sin3x=1,\ sin7x=1, end{array}right.\[5mm] sin3x=1,\ displaystyle x={piover 6}+{2pi kover 3}, kinmathbb{Z}. end{array}]

Пусть

    [xin[0;2pi[,displaystyle xinleft{{piover 6};{5piover 6};{3piover 2}right} .]

Подставляем во второе уравнение:

    [displaystyle sin{7piover 6}ne1; sin{35piover 6}ne1; sin{21piover 2}=1.]

Ответ. displaystyleleft{left.{3piover 2}+2pi kright| kinmathbb{Z}right}.

Пример 4.

    [begin{array}{l} cos^3xcos2x=-1,\ |cos x|le1, |cos2x|le1, |cos^3xcos2x|le1,\ left{begin{array}{l} cos x=1,\ cos2x=-1, end{array}right.end{array}]

или

    [left{begin{array}{l} cos x=-1,\ cos2x=1. end{array}right.]

Если cos x=1, то cos2x=cos^2x-0=1ne-1. Если cos x=-1, то cos2x=1.

    [left{begin{array}{l} cos x=-1,\ cos2x=1. end{array}right.Longleftrightarrowcos x=-1.]

Ответ. {pi+2pi k|kinmathbb{Z}}.

Ссылка на основную публикацию