24. Решение тригонометрических уравнений

Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение $sin x=a$ при $|a|>1$ решений не имеет,

при $a=1$ имеет решения $displaystyle x=frac{pi}{2}+2pi k, kinmathbb{Z}$ ,

при $a=-1$ имеет решения $displaystyle x=frac{3pi}{2}+2pi k, kinmathbb{Z}$ ,

при $a=0$ имеет решения $x=pi k, kinmathbb{Z}$ ,

при всех остальных $a$ имеет решения $x=(-1)^k{rm arcsin},a+pi k, kinmathbb{Z}$ .

Уравнение $cos x=a$ при $|a|>1$ решений не имеет,

при $a=1$ имеет решения $x=2pi k, kinmathbb{Z}$ ,

при $a=-1$ имеет решения $x=pi+2pi k, kinmathbb{Z}$ >,

при $a=0$ имеет решения $displaystyle x=frac{pi}{2}+pi k, kinmathbb{Z}$ ,

при всех остальных $a$ имеет решения $x=pm{rm arccos},x+2pi k, kinmathbb{Z}$ .

Уравнение ${rm tg}, x=a$ имеет решения $x={rm arctg}, x+pi k, kinmathbb{Z}$ .

Уравнение ${rm ctg}, x=a$ имеет решения $x={rm arcctg}, x+pi k, kinmathbb{Z}$ .

Приемы решения тригонометрических уравнений

1. Сведение к одной функции

1. $cos^2x$ заменяем на $sin^2 x$ , ${rm tg}, x$ — на ${rm ctg}, x$ .

Пример 1.

$[begin{array}{l} sin^2 x+2sin x-3cos^2x+1=0,\ sin^2x+2sin x-3+3sin^2x+1=0,\ sin x=t,\ 4t^2+2t-2=0,\ 2t^2+t-1=0. end{array}]$

$[begin{array}{ll} 1) sin x=-1&2) sin x=1/2\ displaystyle x=-{piover 2}+2pi k, kinmathbb{Z}& displaystyle x=(-1)^k{piover 6}+pi k, kinmathbb{Z} end{array}]$

Пример 2.

$[begin{array}{l} {rm ctg}, x-3{rm tg}, x=0,\ displaystyle {1over {rm tg}, x}-3{rm tg}, x=0,\[3mm] 1-3{rm tg}^2x=0\ displaystyle {rm tg}^2x={1over 3}quad(Longrightarrowcos xne0,sin xne0),\[3mm] displaystyle {rm tg}, x=pm{1oversqrt{3}},\[2mm] displaystyle x=pm{piover 6}+pi k. end{array}]$

2. $cos2x$ заменяем на $cos x$ , $cos2x$ — на $sin x$ , ${rm tg},2x$ — на ${rm tg}, x$ .

Пример 1.

$[begin{array}{l} 2cos2x=8cos x-1,\ cos x=t,\ 4t^2-8t-1=0,\ {cal D}/4=20,\ displaystyle t={4pm2sqrt{5}over 4}={2pmsqrt{5}over 2}. end{array}]$

1) $displaystylecos x={2+sqrt{5}over 2}$ 2) $displaystylecos x={2-sqrt{5}over 2}$ ,
В первом случае решений нет, во втором $displaystyle x=pmarccos{2-sqrt{5}over 2}+2pi k, kinmathbb{Z}$ .

Пример 2.

$[begin{array}{l} {rm tg},2x=3{rm tg}, x,\ displaystyle {2{rm tg}, xover 1-{rm tg}^2x}=3{rm tg}, x, end{array}]$

$[begin{array}{ll} 1) {rm tg}, x=0&2) {rm tg}, xne0,\ x=pi k, kinmathbb{Z}&displaystyle {2over 1-{rm tg}^2x}=3,\[3mm] &3{rm tg}^2x-1=0,\ &{rm tg}^2x=1/3Rightarrowcos xne0, {rm tg}^2xne1,\ &displaystyle {rm tg}, x=pm{sqrt{3}over 3},\[3mm] &displaystyle x=pm{piover 6}+pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]$

Пример 3.

$[begin{array}{ll} {rm tg},2x=3{rm ctg}, x&\ 1) displaystyle {2{rm tg}, xover 1-{rm tg}^2x}={3over {rm tg}, x} (cos xne0)&displaystyle cos x=0Longleftrightarrow x={piover 2}+pi k, kinmathbb{Z},\[3mm] 2{rm tg}^2x=3-3{rm tg}^2x&Longrightarrow{rm tg},2x={rm tg},(pi+2pi k)=0,\ 5{rm tg}^2x=3&{rm ctg}, x=0,\ displaystyle{rm tg}, x=pmsqrt{3over 5}Longrightarrowcos xne0,{rm tg}^2xne1&\ displaystyle x=pm{rm arctg},sqrt{3over 5}+pi k, kinmathbb{Z}.& end{array}]$

3. Однородные уравнения относительно $sin x,cos x$ .

$[begin{array}{l} asin x+bcos x=0,\ asin^2x+bsin xcos x+ccos^2x=0. end{array}]$

Если $ane0$ , то деля обе части уравнения на $cos x$ или на $cos^2 x$ , получаем равносильные уравнения. Действительно, пусть $x_0$ — корень уравнения и $cos x_0=0$ . Подставляя в уравнение, получаем, что и $sin x_0=0$ , а это невозможно.

Пример.

$[begin{array}{ll} 2sin^2x-3sin xcos x+cos^2x=0,&\ 2{rm tg}^2x-3{rm tg}, x+1=0,&\ 1) {rm tg}, x=1&2) {rm tg}, x=1/2,\ displaystyle x={piover 4}+pi k, kinmathbb{Z}&displaystyle x={rm arctg},{1over 2}+pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]$

4. Уравнения, приводящиеся к однородным

а) Домножение на $sin^2x+cos^2x$

Пример.

$[begin{array}{l} sin2x(sin x+cos x)=4sin x-2cos x,\ sin2xsin x+sin2xcos x=4sin^3x-2cos xsin^2x+ 4sin xcos^2x-2cos^3x,\ 2sin^2xcos x+2cos^2xsin x=4sin^3x-2cos xsin^2x+ 4sin xcos^2x-2cos^3x,\ 4sin^3x-4sin^2xcos x+2sin xcos^2x-2cos^3x=0,\ 2{rm tg}^3x-2{rm tg}^2x+{rm tg}, x-1=0,\ ({rm tg}, x-1)(2{rm tg}^2x+1)=0,\ {rm tg}, x=1,\ displaystyle x={piover 4}+pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]$

б) Переход к половинному аргументу

Пример.

$[begin{array}{l} 11sin x-2cos x=10,\ displaystyle 22sin{xover 2}cos{xover 2}-2cos^2{xover 2}+2sin^2{xover 2}=10sin^2{xover 2}+10cos^2{xover 2},\[3mm] displaystyle 4{rm tg}^2{xover 2}-11{rm tg},{xover 2}+6=0,\[5mm] displaystyle {rm tg},{xover 2}={11pmsqrt{121-96}over 8}={11pm5over 8}. end{array}]$

$[begin{array}{ll} displaystyle displaystyle{rm tg},{xover 2}=2&displaystyle{rm tg},{xover 2}={3over 4},\[3mm] x=2{rm arctg},2+2pi k, kinmathbb{Z}&displaystyle x={rm arctg},{3over 4}+2pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]$

5. Использование формулы $asinalpha+bcosalpha=sqrt{a^2+b^2}sin(alpha+{rm arctg},(b/a)), a>0$

Пример.

$[begin{array}{l} sin x+cos x=1,\ sqrt{2}sin(x+pi/4)=1,\ sin(x+pi/4)=sqrt{2}/2,\ x=pi k, kinmathbb{Z}; x=pi/2+2pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]$

6. Замена $sin2xtosin xcos xtosin x+cos x,sin x-cos x$ .
Пример.

$[begin{array}{l} displaystyle{1over sin x}-{1over cos x}=1,\[3mm] cos x-sin x=sin xcos x,\ cos x-sin x=t,\ displaystyle sin xcos x={1-t^2over 2},\[3mm] 1-t^2=2t,\ t^2+2t-1=0,\ t=-1pmsqrt{2}. end{array}]$

$[begin{array}{ll} cos x-sin x=-1+sqrt{2}&cos x-sin x=-1-sqrt{2},\ -sqrt{2}sin(x-pi/4)=-1+sqrt{2}&-sqrt{2}sin(x-pi/4)=-1-sqrt{2},\ x=pi/4+{rm arcsin},(1-1/sqrt{2})+2pi k, kinmathbb{Z}&emptyset,\ x=5pi/4-{rm arcsin},(1-1/sqrt{2})+2pi k, kinmathbb{Z}.& end{array}]$

Разложение на множители

1. Формулы преобразования суммы в произведение

2. Формулы

$[begin{array}{l} sin2x=2sin xcos x,\ cos2x=cos^2x-sin^2x,\ sin^2x=1-cos^2x,\ cos^2x=1-sin^2x. end{array}]$

Пример 1.

$[begin{array}{ll} cos2x=cos x+sin x,&\ 1) cos x+sin x=0,&2) cos x-sin x=1,\ 1+{rm tg}, x=0,&-sqrt{2}sin(x+{rm arctg},(-1))=1,\ {rm tg}, x=-1,&displaystylesinleft( x-pi/4right)=-{sqrt{2}over 2},\[3mm] displaystyle x={3piover 4}+pi k, kinmathbb{Z}&displaystyle x-{piover 4}=-{piover 4}+2pi k, x=2pi k, kinmathbb{Z},\[3mm] &displaystyle x-{piover 4}={5piover 4}+2pi k, x={3piover 2}+2pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]$

Ответ. $displaystyleleft{ 2pi k,{3piover 2}+2pi k|kinmathbb{Z}right}$ .

Пример 2.

$[begin{array}{l} sin x+sin^2x+cos^3x=0,\ sin x+1-cos^2x+cos^3x=0,\ sin x(1+sin x)+(1-sin^2x)cos x=0,\ sin x(1+sin x)+(1+sin x)(1-sin x)cos x=0,\ 1) 1+sin x=0,\ sin x=-1,\ displaystyle x=-{piover 2}+2pi k, kinmathbb{Z},\ 2) sin x+(1-sin x)cos x=0,\ sin x+cos x=t,\ displaystylesin xcos x={1over 2}(t^2-1),\[3mm] displaystyle t-{1over 2}t^2+{1over 2}=0,\[3mm] displaystyle {1over 2}t^2-t+{1over 2}=0,\[3mm] t=1pmsqrt{2}. end{array}]$

, решений нет,

$[begin{array}{l} 2) sin x+cos x=1-sqrt{2},\ sqrt{2}sin(x+pi/4)=1-sqrt{2},\ displaystyle x+{piover 4}=arcsin{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi k, kinmathbb{Z},\[3mm] displaystyle x=-{piover 4}+arcsin{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi k, kinmathbb{Z},\[3mm] displaystyle x+{piover 4}=pi-arcsin{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi k, kinmathbb{Z},\[3mm] displaystyle x={3piover 4}-arcsin{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi k, kinmathbb{Z}. end{array}]$

Ответ. $displaystyleleft{-{piover 2}+2pi k,-{piover 4}+arcsin{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi kright.$ , $displaystyleleft.{3piover 4}-{rm arcsin},{1-sqrt{2}over sqrt{2}}+2pi kleft.right| kinmathbb{Z}right}$ .

Понижение степени

Использование формул

$[begin{array}{l} displaystyle cosalphacosbeta={1over 2}(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)),\[3mm] displaystyle sinalphasinbeta={1over 2}(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)),\[3mm] displaystyle sinalphacosbeta={1over 2}(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)),\[3mm] displaystyle cos^2alpha={1over 2}(1+cos2alpha),\[3mm] displaystyle sin^2alpha={1over 2}(1-cos2alpha). end{array}]$

Сравнение левой и правой части

Пример 1.

$[begin{array}{l} 2sin^35x+7cos5x=9,\ 2sin^35xle2,\ 7cos5xle7,\ 2sin^35x+7cos^5xle9,\ Rightarrowleft{begin{array}{l} sin5x=1,\ cos5x=1, end{array}right. end{array}]$

что невозможно.

Ответ. ${}$ .
Пример 2.

$[begin{array}{l} displaystylesin^{19}x+cos^{19}x={piover 3},\[3mm] sin^2x+cos^2x=1,\ left.begin{array}{l} sin^{19}xlesin^2x,\ cos^{19}xlecos^2x, end{array}right|Rightarrowsin^{19}x+cos^{19}xle1,\ pi/3>1. end{array}]$

Ответ. ${}$ .
Пример 3.

$[begin{array}{l} sin3x+sin7x=2,\ left{begin{array}{l} sin3x=1,\ sin7x=1, end{array}right.\[5mm] sin3x=1,\ displaystyle x={piover 6}+{2pi kover 3}, kinmathbb{Z}. end{array}]$

Пусть

Подставляем во второе уравнение:

Ответ. $displaystyleleft{left.{3piover 2}+2pi kright| kinmathbb{Z}right}$ .

Пример 4.

$[begin{array}{l} cos^3xcos2x=-1,\ |cos x|le1, |cos2x|le1, |cos^3xcos2x|le1,\ left{begin{array}{l} cos x=1,\ cos2x=-1, end{array}right.end{array}]$

или

$[left{begin{array}{l} cos x=-1,\ cos2x=1. end{array}right.]$

Если $cos x=1$ , то $cos2x=cos^2x-0=1ne-1$ . Если $cos x=-1$ , то $cos2x=1$ .

$[left{begin{array}{l} cos x=-1,\ cos2x=1. end{array}right.Longleftrightarrowcos x=-1.]$

Ответ. ${pi+2pi k|kinmathbb{Z}}$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40