17. Иррациональные уравнения и неравенства

Рассмотрим уравнения

    [f(x)=g(x),eqno(1)]

    [f^2(x)=g^2(x),eqno(2)]

    [left{begin{array}{l} f^2(x)=g^2(x),\ f(x)cdot g(x)ge0. end{array}right.eqno(3)]

(1)Longrightarrow(2),
(1)Longleftrightarrow(3).

Пример.

    [sqrt{x+2}=x.]

Решение.
I способ.

    [begin{array}{l} x+2=x^2,\ x^2-x-2=0,\ x=-1;x=2. end{array}]

Проверка.

    [begin{array}{l} 1) x=-1Longrightarrow sqrt{x+2}=sqrt{-1+2}=1ne-1,\ 1ne-1,\ 2) x=2Longrightarrow sqrt{x+2}=sqrt{2+2}=2,\ 2=2. end{array}]

Ответ: {2}.

II способ.

    [begin{array}{l} sqrt{x+2}=x,\ left{begin{array}{l} x+2=x^2,\ xge0,\ x+2ge0. end{array}right. end{array}]

Ясно, что условие x+2ge0 здесь сразу следует из того, что x+2=x^2ge0, поэтому его можно не выписывать.

    [begin{array}{l} x^2-x-2=0,\ left{begin{array}{l} x=-1; x=2,\ xge0. end{array}right. end{array}]

Ответ: {2}.

III способ.

    [begin{array}{l} sqrt{x+2}=x,\ sqrt{x+2}=tLongleftrightarrowleft{begin{array}{l} tge0,\ x=t^2-2, end{array}right.\[3mm] t^2-t-2=0,\ left{begin{array}{l} t=-1;t=2,\ tge0, end{array}right.\[3mm] t=2,\ x=2^2-2=2. end{array}]

Ответ: {2}.

Иррациональные неравенства

Рассмотрим неравенство

f(x)>g(x).

Если f(x)ge0 и g(x)ge0 при всех x из области определения неравенства f(x)>g(x), то это неравенство равносильно неравенству f^2(x)>g^2(x).

Неравенству также удовлетворяют все те x из области определения неравенства, для которых f(x)ge0,g(x)<0.

Других решений неравенство не имеет.

Задачи. Решите уравнения
1. sqrt{x^2+x+4}+sqrt{x^2+x+1}=sqrt{2x^2+2x+9}.

2. sqrt[3]{x-1}+sqrt[3]{x-2}-sqrt[3]{2x-3}=0.

3. displaystyle {x^2over sqrt{2x+15}}+sqrt{2x+15}=2x.

4. sqrt{x^2-4x+7}+sqrt{3x-5}=13-x^2.

5. sqrt{2x+3}+sqrt{x+1}=3x+2sqrt{2x^2+5x+3}-16.

6. displaystyle {(sqrt[3]{(15{-}x)^2}{+}sqrt[3]{(15{-}x)(x{-}6)}{+}sqrt[3] {(x{-}6)^2})^2over sqrt[3]{15{-}x}{+}sqrt[3]{x{-}6}}{=}{49over 3}.

7. Решите неравенство
displaystyle {2over 2+sqrt{4-x^2}}+{1over 2-sqrt{4-x^2}}>{1over x}.

8. Решите уравнение для всех значений параметра a
3sqrt{x-a}=3a-2x.

Ссылка на основную публикацию