17. Иррациональные уравнения и неравенства

Рассмотрим уравнения

$[left{begin{array}{l} f^2(x)=g^2(x),\ f(x)cdot g(x)ge0. end{array}right.eqno(3)]$

$(1)Longrightarrow(2)$ ,
$(1)Longleftrightarrow(3)$ .

Пример.

Решение.
I способ.

$[begin{array}{l} x+2=x^2,\ x^2-x-2=0,\ x=-1;x=2. end{array}]$

Проверка.

$[begin{array}{l} 1) x=-1Longrightarrow sqrt{x+2}=sqrt{-1+2}=1ne-1,\ 1ne-1,\ 2) x=2Longrightarrow sqrt{x+2}=sqrt{2+2}=2,\ 2=2. end{array}]$

Ответ: ${2}$ .

II способ.

$[begin{array}{l} sqrt{x+2}=x,\ left{begin{array}{l} x+2=x^2,\ xge0,\ x+2ge0. end{array}right. end{array}]$

Ясно, что условие $x+2ge0$ здесь сразу следует из того, что $x+2=x^2ge0$ , поэтому его можно не выписывать.

$[begin{array}{l} x^2-x-2=0,\ left{begin{array}{l} x=-1; x=2,\ xge0. end{array}right. end{array}]$

Ответ: ${2}$ .

III способ.

$[begin{array}{l} sqrt{x+2}=x,\ sqrt{x+2}=tLongleftrightarrowleft{begin{array}{l} tge0,\ x=t^2-2, end{array}right.\[3mm] t^2-t-2=0,\ left{begin{array}{l} t=-1;t=2,\ tge0, end{array}right.\[3mm] t=2,\ x=2^2-2=2. end{array}]$

Ответ: ${2}$ .

Иррациональные неравенства

Рассмотрим неравенство

$f(x)>g(x)$ .

Если $f(x)ge0$ и $g(x)ge0$ при всех $x$ из области определения неравенства $f(x)>g(x)$ , то это неравенство равносильно неравенству $f^2(x)>g^2(x)$ .

Неравенству также удовлетворяют все те $x$ из области определения неравенства, для которых $f(x)ge0,g(x)<0$ .

Других решений неравенство не имеет.

Задачи. Решите уравнения
1. $sqrt{x^2+x+4}+sqrt{x^2+x+1}=sqrt{2x^2+2x+9}$ .

2. $sqrt[3]{x-1}+sqrt[3]{x-2}-sqrt[3]{2x-3}=0$ .

3. $displaystyle {x^2over sqrt{2x+15}}+sqrt{2x+15}=2x$ .

4. $sqrt{x^2-4x+7}+sqrt{3x-5}=13-x^2.$

5. $sqrt{2x+3}+sqrt{x+1}=3x+2sqrt{2x^2+5x+3}-16.$

6. $displaystyle {(sqrt[3]{(15{-}x)^2}{+}sqrt[3]{(15{-}x)(x{-}6)}{+}sqrt[3] {(x{-}6)^2})^2over sqrt[3]{15{-}x}{+}sqrt[3]{x{-}6}}{=}{49over 3}.$

7. Решите неравенство
$displaystyle {2over 2+sqrt{4-x^2}}+{1over 2-sqrt{4-x^2}}>{1over x}.$

8. Решите уравнение для всех значений параметра $a$
$3sqrt{x-a}=3a-2x.$

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40