16. Решение системы двух линейных линейных уравнений с помощью определителей

Условимся под символом

    [left|begin{array}{cc} a_1&b_1\ a_2&b_2 end{array}right|]

понимать выражение

    [a_1b_2-a_2b_1.]

Пример.

    [left|begin{array}{cc} 7&2\ 13&5 end{array}right|=7cdot5-13cdot2=35-26=9.]

Определение. Символ

    [left|begin{array}{cc} a_1&b_1\ a_2&b_2 end{array}right|]

называется определителем второго порядка. Числа a_1,a_2,b_1,b_2 называются элементами определителя.

Решение системы линейных уравнений

    [left{begin{array}{l} a_1x+b_1y=c_1,\ a_2x+b_2y=c_2 end{array}right.]

с помощью определителей можно записать так:

    [x={left|begin{array}{cc} c_1&b_1\ c_2&b_2 end{array}right|over left|begin{array}{cc} a_1&b_1\ a_2&b_2 end{array}right|}, y={left|begin{array}{cc} a_1&c_1\ a_2&c_2 end{array}right|over left|begin{array}{cc} a_1&b_1\ a_2&b_2 end{array}right|}.]

Знаменатель каждой из этих дробей есть определитель left|begin{array}{cc} a_1&b_1\ a_2&b_2 end{array}right|, составленный из коэффициентов a_1,b_1,a_2,b_2 при неизвестных x и y. Этот определитель называется главным определителем системы уравнений. Приведенные формулы называются формулами Крамера.

Определитель же

    [left|begin{array}{cc} c_1&b_1\ c_2&b_2 end{array}right|]

получается из главного определителя заменой столбца коэффициентов при неизвестном x столбцом свободных членов, стоящих в правых частях уравнений.

Естественно, вышеприведенные формулы применимы только в том случае, если главный определитель отличен от нуля.

Определитель

    [left|begin{array}{cc} a_1&c_1\ a_2&c_2 end{array}right|]

получается из главного определителя заменой столбца left(begin{array}{c} b_1\ b_2 end{array}right) столбцом left(begin{array}{c} c_1\ c_2 end{array}right).

Пример. Решить систему линейных уравнений

    [left{begin{array}{l} 5x-3y=7,\ 2x+y=5. end{array}right.]

Решение.

    [displaystyle x={left|begin{array}{rr} 7&-3\ 5&1 end{array}right|over left|begin{array}{rr} 5&-3\ 2&1 end{array}right|}={7cdot1-5cdot(-3)over 5cdot1-2cdot(-3)}={22over 11}=2,]

    [y={left|begin{array}{cc} 5&7\ 2&5 end{array}right|over left| begin{array}{rr} 5&-3\ 2&1 end{array}right|}={11over 11}=1.]

Задачи.

Решите следующие системы линейных уравнений с помощью определителей:

1.

    [left{begin{array}{l} displaystyle {xover a+b}+{yover a-b}=1,\[1mm] displaystyle {xover a-b}+{yover a+b}={a^2+b^2over a^2-b^2}. end{array}right.]

2.

    [left{begin{array}{l} displaystyle {xover a}+{yover b}={1over a^2}+{1over b^2},\[1mm] displaystyle aleft( x-{1over b}right)=bleft( y+{1over a}right) . end{array}right.]

Ссылка на основную публикацию