16. Решение системы двух линейных линейных уравнений с помощью определителей

Условимся под символом

$[left|begin{array}{cc} a_1&b_1\ a_2&b_2 end{array}right|]$

понимать выражение

Пример.

$[left|begin{array}{cc} 7&2\ 13&5 end{array}right|=7cdot5-13cdot2=35-26=9.]$

Определение. Символ

$[left|begin{array}{cc} a_1&b_1\ a_2&b_2 end{array}right|]$

называется определителем второго порядка. Числа $a_1,a_2,b_1,b_2$ называются элементами определителя.

Решение системы линейных уравнений

$[left{begin{array}{l} a_1x+b_1y=c_1,\ a_2x+b_2y=c_2 end{array}right.]$

с помощью определителей можно записать так:

$[x={left|begin{array}{cc} c_1&b_1\ c_2&b_2 end{array}right|over left|begin{array}{cc} a_1&b_1\ a_2&b_2 end{array}right|}, y={left|begin{array}{cc} a_1&c_1\ a_2&c_2 end{array}right|over left|begin{array}{cc} a_1&b_1\ a_2&b_2 end{array}right|}.]$

Знаменатель каждой из этих дробей есть определитель $left|begin{array}{cc} a_1&b_1\ a_2&b_2 end{array}right|$ , составленный из коэффициентов $a_1,b_1,a_2,b_2$ при неизвестных $x$ и $y$ . Этот определитель называется главным определителем системы уравнений. Приведенные формулы называются формулами Крамера.

Определитель же

$[left|begin{array}{cc} c_1&b_1\ c_2&b_2 end{array}right|]$

получается из главного определителя заменой столбца коэффициентов при неизвестном $x$ столбцом свободных членов, стоящих в правых частях уравнений.

Естественно, вышеприведенные формулы применимы только в том случае, если главный определитель отличен от нуля.

Определитель

$[left|begin{array}{cc} a_1&c_1\ a_2&c_2 end{array}right|]$

получается из главного определителя заменой столбца $left(begin{array}{c} b_1\ b_2 end{array}right)$ столбцом $left(begin{array}{c} c_1\ c_2 end{array}right)$ .

Пример. Решить систему линейных уравнений

$[left{begin{array}{l} 5x-3y=7,\ 2x+y=5. end{array}right.]$

Решение.

$[displaystyle x={left|begin{array}{rr} 7&-3\ 5&1 end{array}right|over left|begin{array}{rr} 5&-3\ 2&1 end{array}right|}={7cdot1-5cdot(-3)over 5cdot1-2cdot(-3)}={22over 11}=2,]$

$[y={left|begin{array}{cc} 5&7\ 2&5 end{array}right|over left| begin{array}{rr} 5&-3\ 2&1 end{array}right|}={11over 11}=1.]$

Задачи.

Решите следующие системы линейных уравнений с помощью определителей:

$[left{begin{array}{l} displaystyle {xover a+b}+{yover a-b}=1,\[1mm] displaystyle {xover a-b}+{yover a+b}={a^2+b^2over a^2-b^2}. end{array}right.]$

$[left{begin{array}{l} displaystyle {xover a}+{yover b}={1over a^2}+{1over b^2},\[1mm] displaystyle aleft( x-{1over b}right)=bleft( y+{1over a}right) . end{array}right.]$

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40