13. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса*

Рассмотрим систему линейных уравнений:

    [left{begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+ldots+a_{1n}x_n=b_1,\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ldots+a_{2n}x_n=b_2,\ ldots,\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+ldots+a_{mn}x_n=b_m. end{array}right.]

С этой системой связываются две матрицы: матрица коэффициентов

    [A=left(begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&ldots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&ldots&a_{2n}\ ldots&&&ldots\ a_{m1}&a_{m2}&ldots&a_{mn} end{array}right)]

и расширенная матрица — с присоединенными свободными членами:

    [(A|B)=left(begin{array}{ccc|c} a_{11}&ldots&a_{1n}&b_1\ a_{21}&ldots&a_{2n}&b_2\ ldots&&&ldots\ a_{m1}&ldots&a_{mn}&b_m end{array}right).]

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются:

1. умножение уравнения на отличное от нуля число;

2. прибавление к одному уравнению любого другого, умноженного на любое число;

3. перестановка уравнений местами.

Теорема. Любая система линейных уравнений с помощью элементарных преобразований и, может быть, изменением нумерации неизвестных, может быть приведена к системе с трапециевидной матрицей.

Доказательство. Проводим элементарные преобразования только над строками матрицы (A|B), как в доказательстве теоремы о ранге матрицы. Возможно, при этом придется изменить нумерацию неизвестных. Приводим систему уравнений к виду

    [begin{array}{r} c_{11}x_1+ldots+c_{1r}x_r+c_{1,r+1}x_{r+1}+ldots+c_{1n}x_n=d_1,\ ldots,\ c_{rr}x_r+c_{r,r+1}x_{r+1}+ldots+c_{rn}x_n=d_r,\ 0=d_{r+1},\ ldots,\ 0=d_m. end{array}]

Если хотя бы одно из чисел d_{r+1},ldots,d_m отлично от нуля, то данная система уравнений решений не имеет (несовместна). Если же все они равны нулю, то последние m-r равенств не несут никакой информации и могут быть отброшены. Тогда, если r<m, то неизвестным x_{r+1},ldots,x_m можно придавать произвольные значения, а неизвестные x_1,ldots,x_r находим из решения системы с треугольной матрицей

    [left(begin{array}{ccc} c_{11}&ldots&c_{1r}\ ldots&&\ 0&ldots&c_{rr} end{array}right) .]

Эту систему удобно решать, определив из r-го уравнения x_r, затем из r-1-го x_{r-1} и т.д. Таким образом, можно выразить переменные x_1,ldots,x_r через x_{r+1},ldots,x_n и получить общее решение системы. Если r=n, то система (в случае совместности) имеет единственное решение.

Преобразование системы уравнений к системе с трапециевидной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Последовательное вычисление неизвестных в порядке x_n,ldots,x_1 называется обратным ходом.

Пример. Решить систему линейных уравнений

    [left{begin{array}{l} 2x_1-x_2+3x_3-7x_4=5,\ 6x_1-3x_2+x_3-4x_4=7,\ 4x_1-2x_2+14x_3-31x_4=18. end{array}right.]

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

    [left(begin{array}{crcr|c} 2&-1&3&-7&5\ 6&-3&1&-4&7\ 4&-2&14&-31&18 end{array}right) .]

Первую строку умножим на 3 и вычтем из второй. Затем первую строку умножим на 2 и вычтем из третьей. Получим

    [left(begin{array}{crrr|c} 2&-1&3&-7&5\ 0&0&-8&17&-8\ 0&0&8&-17&8 end{array}right) .]

Далее вторую строку прибавим к третьей и отбросим нулевую строку, получим

    [left(begin{array}{crrr|c} 2&-1&3&-7&5\ 0&0&-8&17&-8 end{array}right) .]

Запишем полученные уравнения:

    [left{begin{array}{l} 2x_1-x_2+3x_3-7x_4=5,\ -8x_3+17x_4=-8. end{array}right.]

Из второго уравнения выразим x_3:

    [x_3=frac{17x_4+8}{8}=frac{17}{8}x_4+1.]

Полученное выражение подставляем в первое уравнение и выражаем из него x_2:

    [x_2=2x_1+3frac{17x_4+8}{8}-7x_4-5=2x_1-frac{5}{8}x_4-5.]

Ответ. Общее решение данной системы:

    [x_2=2x_1-frac{5}{8}x_4-5, x_3=frac{17}{8}x_4+1 .]

Задачи.

1. Решите систему линейных уравнений

    [left{begin{array}{l} x_1+x_2+3x_3-2x_4+3x_5=1,\ 2x_1+2x_2+4x_3-x_4+3x_5=2,\ 3x_1+3x_2+5x_3-2x_4+3x_5=1,\ 2x_1+2x_2+8x_3-3x_4+9x_5=2. end{array}right.]

2. Решите систему линейных уравнений

    [left{begin{array}{l} 2x_1+5x_2-8x_3=8,\ 4x_1+3x_2-9x_3=9,\ 2x_1+3x_2-5x_3=7,\ x_1+8x_2-7x_3=12. end{array}right.]

3. Решите систему линейных уравнений

    [left{begin{array}{l} 2x_1-x_2+x_3+2x_4+3x_5=2,\ 6x_1-3x_2+2x_3+4x_4+5x_5=3,\ 6x_1-3x_2+4x_3+8x_4+13x_5=9,\ 4x_1-2x_2+x_3+x_4+2x_5=1. end{array}right.]

Ссылка на основную публикацию