12. Уравнения и неравенства. Логические союзы

Определение. Высказыванием называется предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры высказываний
$2cdot2=4$ — истинное,
$2cdot2=5$ — ложное,
для всех вещественных $x: x^2> -3$ — истинное,
для всех натуральных $x: x^2<10$ — ложное,
существует натуральное $x: x^2<10$ — истинное,
$x^2=9$ — не высказывание.

$daleth A$ — не $A$ — это высказывание, истинное в том и только в том случае, если $A$ ложно.

Логические значения высказывания $daleth A$ можно описать с помощью таблицы

$A$	$daleth A$
и	л
л	и

Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.

Замечание. Иногда истинное высказывание обозначают цифрой 1, а ложное — цифрой 0.

и	или
wedge	vee

Пусть $A,B$ — два высказывания. Высказывание $A& B$ считается истинным в том и только в том случае, если истинно как высказывание $A$ , так и высказывание $B$ . Высказывание $Avee B$ считается истинным в том и только в том случае, если истинно хотя бы одно из высказываний $A,B$ .

Таблицы истинности для конъюнкции ( $wedge$ ) и дизъюнкции ( $vee$ ):

$A$	$B$	$Awedge B$
и	и	и
и	л	и
л	и	л
л	л	л

$A$	$B$	$Avee B$
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Импликация высказываний $A$ и $B$ — это высказывание, которое ложно, если $A$ истинно, а $B$ ложно, и истинно во всех остальных случаях.

Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

$A$	$B$	$Arightarrow B$
и	и	и
и	л	л
л	и	и
л	л	и

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется простым, или элементарным. Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок “не”, “и”, “или”, “если…, то…”, “тогда и только тогда”, принято называть сложными, или составными.

Кванторами называются следующие обозначения $forall$ — для всех, $exists$ — существует.

Задачи.

1. Среди следующих предложений выделите высказывания, установите, истинны они или ложны:

река Волхов впадает в озеро Ильмень;
всякий человек имеет брата;
пейте томатный сок;
существует человек, который моложе своего отца;
который час?
ни один человек не весит более 1000 кг;
$23<5$ ;
для всех вещественных чисел $x$ и $y$ верно равенство $x+y=y+x$ ;
$x^2-7x+12$ ;
$x^2-7x+12=0$ .

2. Пусть $A$ — высказывание “Школьник Иванов изучает английский язык”, $B$ — высказывание “Школьник Иванов хорошо учится по алгебре”. Дайте словесную формулировку высказываний:

а) $Awedgedaleth B$ ;

б) $Ato B$ .

3. Составьте таблицу истинности для высказывания $Avee daleth B$ .

4. Какие из следующих предложений являются высказываниями:

Москва — столица России;
школьник;
$sqrt 3+2sqrt 7-28$ ;
Луна есть спутник Марса;
$a>0$ .

5. Приведите примеры предложений,

а) являющихся высказываниями;

б) не являющихся высказываниями.

6. Установите, истинно или ложно высказывание:

$2in{ x|2x^3-3x^2+1=0,x$ — вещественное число $}$ ;
$-3inleft{ xleft|{x^3-1over x^2+2}right.<-2,xright.$ — вещественное число $left.right}$ ;
1 — натуральное число;
${1}in P(N)$ , где $P(N)$ — множество всех подмножеств множества натуральных чисел $mathbb{N}$ ;
${1,-1,2}subset{ x|x^3+x^2-x-1=0,x$ — целое число $}$ .

7. Является ли высказыванием следующее предложение: “Это предложение ложно”?

8. Среди следующих высказываний укажите элементарные и составные. В составных высказываниях выделите грамматические связки:

число 27 не делится на 3;
число 15 делится на 3 и на 5;
если число 126 делится на 9, то оно делится на 3;
число 7 является делителем числа 42.

9. Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов алгебры логики:

45 кратно 3 и 42 кратно 3;
45 кратно 3 и 12 не кратно 3;
$sqrt{25}=5$ или $sqrt{25}=-5$ ;
$2le5$ ;
если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится на 12;
число 212 трехзначное и кратно 3 или 4.

10. Пусть $P$ и $Q$ обозначают высказывания:
$P$ — “Я учусь в школе”,

$Q$ — “Я люблю математику”.

Прочтите следующие сложные высказывания:

1) $daleth P$ ;

2) $dalethdaleth P$ ;

3) $P& Q$ ;

4) $P&daleth Q$ ;

5) $daleth P& Q$ ;

6) $daleth P&daleth Q$ ;

7) $daleth(P&Q)$ .

11. Какие из следующих импликаций истинны:

если $2cdot2=4$ , то $2<3$ ;
если $2cdot2=4$ , то $2>3$ ;
если $2cdot2=5$ , то $2<3$ ;
если $2cdot2=5$ , то $2>3$ .

12. Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоречивы:

$a=1,a& b=0$ ;
$a=1,avee b=0$ ;
$a=1,a& b=1$ ;
$a=1,avee b=1$ ;
$a=0,a& b=1$ ;
$a=0,avee b=1$ ;
$a=0,a& b=0$ ;
$a=0,avee b=0$ .

13. Пусть $x,x',y,y'$ означают соответственно высказывания “7 — простое число”, “7 — составное число”, “8 — простое число”, “8 — составное число”.

Какие из предложений $x& y$ , $x& y'$ , $x'& y$ , $x'& y'$ истинны и какие ложны?
То же с заменой конъюнкции на дизъюнкцию.
То же для предложений $daleth x$ , $daleth y$ , $daleth x'$ , $daleth y'$ .

14. Найдите логические значения $x$ и $y$ , при которых выполняются равенства:

1) $(1to x)to y=0$ ;

2) $xvee y=daleth x$ .

15. 1) Известно, что $x$ имеет значение 1. Что можно сказать о значениях импликации $daleth xwedge yto z$ ; $daleth xto(yvee z)$ ?

2) Известно, что $xto y$ имеет значение 1. Что можно сказать о значениях

16. Пусть $x=0,y=1,z=1$ . Определить значения следующих сложных высказываний:

$xwedge(ywedge z)$ ;
$(xwedge y)wedge y$ ;
$xto(yto z)$ ;
$xwedge yto z$ .

17. Показать, что логические связки $daleth btodaleth a$ , $a&daleth btodaleth a$ , $a&daleth bto b$ , $a&daleth bto$ л, где л — фиксированное ложное высказывание, имеют ту же таблицу истинности, что и импликация $ato b$ .

18. Постройте с помощью отрицания и дизъюнкции формулу, таблица истинности для которой совпадала бы с таблицей для импликации.

19. Составьте таблицы истинности для формул:

$daleth x_1veedaleth x_2$ ;
$(xvee y)to(xwedge daleth yveedaleth xtodaleth y)$ ;
$(x_1wedge x_2)vee x_3$ ;
$xwedgedaleth y)to(yveedaleth xtodaleth z)$ ;
$(x_1todaleth x_2)to(daleth(x_1vee x_2)wedge daleth x_3)$ ;
$(daleth xvee z)wedge(yto(uto x))$ .

20. Установите, какие из следующих формул являются тождественно истинными, тождественно ложными:

$daleth(daleth(xvee y)todaleth(x& y))$ ;
$(xto y)to(daleth ytodaleth x)$ ;
$daleth(p_1to(p_2to p_1))$ ;
$daleth p_1to(p_1to p_2)$ ;
$((pto q)&(qto r))to(pto r)$ ;
$daleth((xto z)to((yto z)to(xvee yto z)))$ ;
$(p_1to p_2)to((p_1to p_2)to(p_1to p_3))$ ;
$daleth((p_1to p_2)to((p_1wedge p)to(p_2wedge p)))$ .

Оставить комментарий

Свежие комментарии

alex в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “а что именно?” Апр 24, 18:31
alex в Иррациональные уравнения на примерах: “Ну эти уравнения не очень сложны, но рассказано очень хорошо про иррациональные уравнения - здесь я согласен!” Апр 24, 18:15
Константин в Иррациональные уравнения на примерах: “То чувство, когда всё разложено по полочкам и кажется очень просто, но на практике начинаются сложности. Математика требует не только…” Апр 15, 17:47
Настя в Интегрирование тригонометрических функций sin(x)^m*cos(x)^n. Правила понижения степени: “Реально помогло решить задачи дочке)” Апр 15, 17:43
Сергей в Квадратные уравнения. Примеры решения: “Никогда не был предрасположен к точным наукам. Вроде бы и примеры не сложные, но по истечении лет, и они вызывают…” Апр 15, 17:40