12. Уравнения и неравенства. Логические союзы

Определение. Высказыванием называется предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры высказываний
2cdot2=4  — истинное,
2cdot2=5  — ложное,
для всех вещественных x: x^2> -3  — истинное,
для всех натуральных x: x^2<10  — ложное,
существует натуральное x: x^2<10  — истинное,
x^2=9  — не высказывание.

daleth A — не A — это высказывание, истинное в том и только в том случае, если A ложно.

Логические значения высказывания daleth A можно описать с помощью таблицы

A

daleth A

и

л

л

и

Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.

Замечание. Иногда истинное высказывание обозначают цифрой 1, а ложное — цифрой 0.

и

или

wedge

vee

Пусть A,B — два высказывания. Высказывание A& B считается истинным в том и только в том случае, если истинно как высказывание A, так и высказывание B. Высказывание Avee B считается истинным в том и только в том случае, если истинно хотя бы одно из высказываний A,B.

Таблицы истинности для конъюнкции (wedge) и дизъюнкции (vee):

A

B

Awedge B

и

и

и

и

л

и

л

и

л

л

л

л

A

B

Avee B

и

и

и

и

л

и

л

и

и

л

л

л

Импликация высказываний A и B — это высказывание, которое ложно, если A истинно, а B ложно, и истинно во всех остальных случаях.

Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

A

B

Arightarrow B

и

и

и

и

л

л

л

и

и

л

л

и

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется простым, или элементарным. Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок “не”, “и”, “или”, “если…, то…”, “тогда и только тогда”, принято называть сложными, или составными.

Кванторами называются следующие обозначения forall — для всех, exists — существует.

Задачи.

1. Среди следующих предложений выделите высказывания, установите, истинны они или ложны:

  • река Волхов впадает в озеро Ильмень;
  • всякий человек имеет брата;
  • пейте томатный сок;
  • существует человек, который моложе своего отца;
  • который час?
  • ни один человек не весит более 1000 кг;
  • 23<5;
  • для всех вещественных чисел x и y верно равенство x+y=y+x;
  • x^2-7x+12;
  • x^2-7x+12=0.

2. Пусть A — высказывание “Школьник Иванов изучает английский язык”, B — высказывание “Школьник Иванов хорошо учится по алгебре”. Дайте словесную формулировку высказываний:

а) Awedgedaleth B;

б) Ato B.

3. Составьте таблицу истинности для высказывания Avee daleth B.

4. Какие из следующих предложений являются высказываниями:

  • Москва — столица России;
  • школьник;
  • sqrt 3+2sqrt 7-28;
  • Луна есть спутник Марса;
  • a>0.

5. Приведите примеры предложений,

а) являющихся высказываниями;

б) не являющихся высказываниями.

6. Установите, истинно или ложно высказывание:

  • 2in{ x|2x^3-3x^2+1=0,x — вещественное число};
  • -3inleft{ xleft|{x^3-1over x^2+2}right.<-2,xright. — вещественное числоleft.right};
  • 1 — натуральное число;
  • {1}in P(N), где P(N) — множество всех подмножеств множества натуральных чисел mathbb{N};
  • {1,-1,2}subset{ x|x^3+x^2-x-1=0,x — целое число }.

7. Является ли высказыванием следующее предложение: “Это предложение ложно”?

8. Среди следующих высказываний укажите элементарные и составные. В составных высказываниях выделите грамматические связки:

  • число 27 не делится на 3;
  • число 15 делится на 3 и на 5;
  • если число 126 делится на 9, то оно делится на 3;
  • число 7 является делителем числа 42.

9. Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов алгебры логики:

  • 45 кратно 3 и 42 кратно 3;
  • 45 кратно 3 и 12 не кратно 3;
  • sqrt{25}=5 или sqrt{25}=-5;
  • 2le5;
  • если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится на 12;
  • число 212 трехзначное и кратно 3 или 4.

10. Пусть P и Q обозначают высказывания:
P — “Я учусь в школе”,

Q — “Я люблю математику”.

Прочтите следующие сложные высказывания:

1) daleth P;

2) dalethdaleth P;

3) P& Q;

4) P&daleth Q;

5) daleth P& Q;

6) daleth P&daleth Q;

7) daleth(P&Q).

11. Какие из следующих импликаций истинны:

  • если 2cdot2=4, то 2<3;
  • если 2cdot2=4, то 2>3;
  • если 2cdot2=5, то 2<3;
  • если 2cdot2=5, то 2>3.

12. Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоречивы:

  • a=1,a& b=0;
  • a=1,avee b=0;
  • a=1,a& b=1;
  • a=1,avee b=1;
  • a=0,a& b=1;
  • a=0,avee b=1;
  • a=0,a& b=0;
  • a=0,avee b=0.

13. Пусть x,x',y,y' означают соответственно высказывания “7 — простое число”, “7 — составное число”, “8 — простое число”, “8 — составное число”.

  • Какие из предложений x& y, x& y', x'& y, x'& y' истинны и какие ложны?
  • То же с заменой конъюнкции на дизъюнкцию.
  • То же для предложений daleth x, daleth y, daleth x', daleth y'.

14. Найдите логические значения x и y, при которых выполняются равенства:

1) (1to x)to y=0;

2) xvee y=daleth x.

15. 1) Известно, что x имеет значение 1. Что можно сказать о значениях импликации daleth xwedge yto z; daleth xto(yvee z)?

2) Известно, что xto y имеет значение 1. Что можно сказать о значениях

    [zto(xto y); daleth(xto y)to y; (xto y)to z?]

16. Пусть x=0,y=1,z=1. Определить значения следующих сложных высказываний:

  • xwedge(ywedge z);
  • (xwedge y)wedge y;
  • xto(yto z);
  • xwedge yto z.

17. Показать, что логические связки daleth btodaleth a, a&daleth btodaleth a, a&daleth bto b, a&daleth btoл, где л — фиксированное ложное высказывание, имеют ту же таблицу истинности, что и импликация ato b.

18. Постройте с помощью отрицания и дизъюнкции формулу, таблица истинности для которой совпадала бы с таблицей для импликации.

19. Составьте таблицы истинности для формул:

  • daleth x_1veedaleth x_2;
  • (xvee y)to(xwedge daleth yveedaleth xtodaleth y);
  • (x_1wedge x_2)vee x_3;
  • xwedgedaleth y)to(yveedaleth xtodaleth z);
  • (x_1todaleth x_2)to(daleth(x_1vee x_2)wedge daleth x_3);
  • (daleth xvee z)wedge(yto(uto x)).

20. Установите, какие из следующих формул являются тождественно истинными, тождественно ложными:

  • daleth(daleth(xvee y)todaleth(x& y));
  • (xto y)to(daleth ytodaleth x);
  • daleth(p_1to(p_2to p_1));
  • daleth p_1to(p_1to p_2);
  • ((pto q)&(qto r))to(pto r);
  • daleth((xto z)to((yto z)to(xvee yto z)));
  • (p_1to p_2)to((p_1to p_2)to(p_1to p_3));
  • daleth((p_1to p_2)to((p_1wedge p)to(p_2wedge p))).
Ссылка на основную публикацию