Определение. Высказыванием называется предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.
Примеры высказываний — истинное,
— ложное,
для всех вещественных — истинное,
для всех натуральных — ложное,
существует натуральное — истинное,
— не высказывание.
— не
— это высказывание, истинное в том и только в том случае, если
ложно.
Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы
|
|
---|---|
и |
л |
л |
и |
Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.
Замечание. Иногда истинное высказывание обозначают цифрой 1, а ложное — цифрой 0.
и |
или |
---|---|
|
|
Пусть — два высказывания. Высказывание
считается истинным в том и только в том случае, если истинно как высказывание
, так и высказывание
. Высказывание
считается истинным в том и только в том случае, если истинно хотя бы одно из высказываний
.
Таблицы истинности для конъюнкции () и дизъюнкции (
):
|
|
|
---|---|---|
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
л |
|
|
|
---|---|---|
и |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
Импликация высказываний и
— это высказывание, которое ложно, если
истинно, а
ложно, и истинно во всех остальных случаях.
Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:
|
|
|
---|---|---|
и |
и |
и |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
и |
Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется простым, или элементарным. Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок “не”, “и”, “или”, “если…, то…”, “тогда и только тогда”, принято называть сложными, или составными.
Кванторами называются следующие обозначения — для всех,
— существует.
Задачи.
1. Среди следующих предложений выделите высказывания, установите, истинны они или ложны:
- река Волхов впадает в озеро Ильмень;
- всякий человек имеет брата;
- пейте томатный сок;
- существует человек, который моложе своего отца;
- который час?
- ни один человек не весит более 1000 кг;
-
;
- для всех вещественных чисел
и
верно равенство
;
-
;
-
.
2. Пусть — высказывание “Школьник Иванов изучает английский язык”,
— высказывание “Школьник Иванов хорошо учится по алгебре”. Дайте словесную формулировку высказываний:
а) ;
б) .
3. Составьте таблицу истинности для высказывания .
4. Какие из следующих предложений являются высказываниями:
- Москва — столица России;
- школьник;
-
;
- Луна есть спутник Марса;
-
.
5. Приведите примеры предложений,
а) являющихся высказываниями;
б) не являющихся высказываниями.
6. Установите, истинно или ложно высказывание:
-
— вещественное число
;
-
— вещественное число
;
- 1 — натуральное число;
-
, где
— множество всех подмножеств множества натуральных чисел
;
-
— целое число
.
7. Является ли высказыванием следующее предложение: “Это предложение ложно”?
8. Среди следующих высказываний укажите элементарные и составные. В составных высказываниях выделите грамматические связки:
- число 27 не делится на 3;
- число 15 делится на 3 и на 5;
- если число 126 делится на 9, то оно делится на 3;
- число 7 является делителем числа 42.
9. Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов алгебры логики:
- 45 кратно 3 и 42 кратно 3;
- 45 кратно 3 и 12 не кратно 3;
-
или
;
-
;
- если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится на 12;
- число 212 трехзначное и кратно 3 или 4.
10. Пусть и
обозначают высказывания:
— “Я учусь в школе”,
— “Я люблю математику”.
Прочтите следующие сложные высказывания:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) .
11. Какие из следующих импликаций истинны:
- если
, то
;
- если
, то
;
- если
, то
;
- если
, то
.
12. Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоречивы:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
13. Пусть означают соответственно высказывания “7 — простое число”, “7 — составное число”, “8 — простое число”, “8 — составное число”.
- Какие из предложений
,
,
,
истинны и какие ложны?
- То же с заменой конъюнкции на дизъюнкцию.
- То же для предложений
,
,
,
.
14. Найдите логические значения и
, при которых выполняются равенства:
1) ;
2) .
15. 1) Известно, что имеет значение 1. Что можно сказать о значениях импликации
;
?
2) Известно, что имеет значение 1. Что можно сказать о значениях
16. Пусть . Определить значения следующих сложных высказываний:
-
;
-
;
-
;
-
.
17. Показать, что логические связки ,
,
,
л, где л — фиксированное ложное высказывание, имеют ту же таблицу истинности, что и импликация
.
18. Постройте с помощью отрицания и дизъюнкции формулу, таблица истинности для которой совпадала бы с таблицей для импликации.
19. Составьте таблицы истинности для формул:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
20. Установите, какие из следующих формул являются тождественно истинными, тождественно ложными:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.