10. Решение уравнений с модулем

Наиболее часто используемый способ решения задач с модулем состоит в том, что модуль раскрывается на основании определения. Для этого находим, при каких значениях переменной выражение, стоящее под модулем, неотрицательно, а при каких — отрицательно. Рассмотрим этот метод на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим первый случай , то есть (выражение под модулем неотрицательно). Уравнение в этом случае принимает вид , его решение . Это решение удовлетворяет условию . Таким образом, — корень исходного уравнения.

Во втором случае , то есть . В этом случае уравнение преобразуется к виду , его решение . Этот корень не удовлетворяет условию , таким образом, не является корнем исходного уравнения.

Ответ. .

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Сначала найдем корни уравнения . Это . Следовательно, условие выполняется при и при , а условие — при . Рассмотрим два случая:

1) .

Исходное уравнение на этом множестве имеет вид .

Его корни . Из них только попадает под наш случай. Докажем это:

Так как , то , и, действительно, . Для доказательства левой части двойного неравенства возведем его в квадрат (это можно сделать, поскольку обе части неравенства неотрицательны):

Так как , последнее неравенство также выполняется, и корень — посторонний. Из очевидной цепочки неравенств

следует, что является корнем уравнения.

2) .

В этом случае , и от исходного уравнения мы переходим к уравнению . Решения этого уравнения: и . Из них только число попадает на указанный промежуток:

корень — посторонний.

Ответ.
Замечание. Здесь описан стандартный прием, всегда приводящий к цели. Однако, как мне совершенно справедливо указали в комментариях Nynko и Талгат, существуют и более простые способы решения данного примера.

Вот что предлагает Nynko. Нужно решить эквивалентную совокупность систем :

и

Сравнивать полученные корни теперь придется с рациональным числом , что намного проще.

Если под модулем стоит более простое выражение, чем выражение в правой части, то нужно применять метод, описанный в примере 2.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Корни выражений, стоящих под модулем, — и . Числовая ось разбивается точками и на три промежутка, изображенных на рис. 12:

Рис. 12

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) . Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, неотрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду . Решение этого уравнения . Этот корень попадает на промежуток и поэтому является решением исходного уравнения.

2) . Поскольку первое выражение, стоящее под модулем, положительно, а второе отрицательно на рассматриваемом промежутке, то исходное уравнение преобразуется к виду . Решение этого уравнения . Поскольку не попадает на рассматриваемый промежуток , то этот корень — посторонний.

3) . Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, отрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду . Решение этого уравнения . Этот корень принадлежит промежутку и является решением исходного уравнения.

Ответ. .

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Для решения этого уравнения раскроем модули, начиная с внутреннего. Рассмотрим два случая: 1) и 2) .

1) В этом случае , и исходное уравнение преобразуется к виду . Решая это уравнение, получаем корни и .

2) При раскрываем внутренний модуль: . Получаем уравнение , которое решений не имеет.

Ответ. .

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Из геометрических свойств модуля имеем: — это расстояние между точкой и точкой , — расстояние между точкой и точкой . Таким образом, — это сумма расстояний от точки до точек и . Поскольку расстояние между точками и равно , то любая точка , лежащая на числовой оси между точками и , удовлетворяет условию. Точек, лежащих вне отрезка , удовлетворяющих условию, не существует, поскольку сумма расстояний от этих точек до концов данного отрезка очевидно больше .

Ответ. .

Задачи. Решите уравнения:

1. .

2. .

3. .

4. .