10. Решение уравнений с модулем

Наиболее часто используемый способ решения задач с модулем состоит в том, что модуль раскрывается на основании определения. Для этого находим, при каких значениях переменной выражение, стоящее под модулем, неотрицательно, а при каких — отрицательно. Рассмотрим этот метод на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

    [|x+3|=2x-3.]

Решение. Рассмотрим первый случай x+3ge0, то есть xge-3 (выражение под модулем неотрицательно). Уравнение в этом случае принимает вид x+3=2x-3, его решение x=6. Это решение удовлетворяет условию xge-3. Таким образом, 6 — корень исходного уравнения.

Во втором случае x+3<0, то есть x<-3. В этом случае уравнение преобразуется к виду -x-3=2x-3, его решение x=0. Этот корень не удовлетворяет условию x<-3, таким образом, 0 не является корнем исходного уравнения.

Ответ. {6}.

Пример 2. Решить уравнение

    [|x^2-2x-4|=3x-2.]

Решение. Сначала найдем корни уравнения x^2-2x-4=0. Это 1pmsqrt{5}. Следовательно, условие x^2-2x-4ge0 выполняется при xle1-sqrt{5} и при xge1+sqrt{5}, а условие x^2-2x-4<0 — при 1-sqrt{5}<1+sqrt{5}. Рассмотрим два случая:

1) xinleft(-infty;1-sqrt{5}right]cupleft[1+sqrt{5};+inftyright).

Исходное уравнение на этом множестве имеет вид x^2-2x-4=3x-2.

Его корни displaystyle x_{1,2}=frac{5pmsqrt{33}}{2}. Из них только displaystylefrac{5+sqrt{33}}{2} попадает под наш случай. Докажем это:

    [begin{array}{c} displaystyle 1-sqrt{5}<frac{5-sqrt{33}}{2}<1+sqrt{5}Leftrightarrow\[2mm] Leftrightarrow2-2sqrt{5}<5-sqrt{33}<2+2sqrt{5}Leftrightarrow\ Leftrightarrow-3-2sqrt{5}<-sqrt{33}<-3+2sqrt{5}Leftrightarrow\ Leftrightarrow3+2sqrt{5}>sqrt{33}>3-2sqrt{5}. end{array}]

Так как sqrt{5}>2, то 3-2sqrt{5}<0, и, действительно, sqrt{33}>0>3-2sqrt{5}. Для доказательства левой части двойного неравенства возведем его в квадрат (это можно сделать, поскольку обе части неравенства неотрицательны):

    [sqrt{33}<3+2sqrt{5}Leftrightarrow33<9+12sqrt{5}+20.]

Так как 12sqrt{5}>4, последнее неравенство также выполняется, и корень displaystylefrac{5-sqrt{33}}{2} — посторонний. Из очевидной цепочки неравенств

    [1+sqrt{5}<frac{5+sqrt{33}}{2}Leftrightarrow2+2sqrt{5}<5+sqrt{33}Leftrightarrow 2sqrt{5}<3+sqrt{33}Leftrightarrow]

20<9+6sqrt{33}+33 следует, что displaystylefrac{5+sqrt{33}}{2} является корнем уравнения.

2) xinleft(1-sqrt{5};1+sqrt{5}right).

В этом случае x^2-2x-4<0, и от исходного уравнения мы переходим к уравнению -x^2+2x+4=3x-2. Решения этого уравнения: -3 и 2. Из них только число 2 попадает на указанный промежуток:

    [begin{array}{c} 0<2<1+sqrt{5}Leftrightarrow1<sqrt{5},\ -3<1-sqrt{5}Leftrightarrow3>-1+sqrt{5}Leftrightarrow4>sqrt{5}, end{array}]

корень -3 — посторонний.

Ответ. displaystyleleft{2;frac{5+sqrt{33}}{2}right}
Замечание. Здесь описан стандартный прием, всегда приводящий к цели. Однако, как мне совершенно справедливо указали в комментариях Nynko и Талгат, существуют и более простые способы решения данного примера.

Вот что предлагает Nynko. Нужно решить эквивалентную совокупность систем :

    [[x^2-2x-4=(3x-2); 3x-2ge0]]

и

    [[x^2-2x-4=-(3x-2); 3x-2ge0].]

Сравнивать полученные корни теперь придется с рациональным числом 2/3, что намного проще.

Если под модулем стоит более простое выражение, чем выражение в правой части, то нужно применять метод, описанный в примере 2.

Пример 3. Решить уравнение

    [|x-1|+|x-2|=x+3.]

Решение. Корни выражений, стоящих под модулем, — 1 и 2. Числовая ось разбивается точками 1 и 2 на три промежутка, изображенных на рис. 12:

Рис. 12

Рассмотрим каждый из этих случаев.

1) xge2. Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, неотрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду x-1+x-2=x+3. Решение этого уравнения x=6. Этот корень попадает на промежуток [2,+infty) и поэтому является решением исходного уравнения.

2) 1le x<2. Поскольку первое выражение, стоящее под модулем, положительно, а второе отрицательно на рассматриваемом промежутке, то исходное уравнение преобразуется к виду x-1+2-x=x+3. Решение этого уравнения x=-2. Поскольку -2 не попадает на рассматриваемый промежуток [1,2), то этот корень — посторонний.

3) x<1. Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, отрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду 1-x+2-x=x+3. Решение этого уравнения x=0. Этот корень принадлежит промежутку (-infty,1) и является решением исходного уравнения.

Ответ. {0;6}.

Пример 4. Решить уравнение

    [||x+3|+x|=1.]

Решение. Для решения этого уравнения раскроем модули, начиная с внутреннего. Рассмотрим два случая: 1) xge-3 и 2) x<-3.

1) В этом случае |x+3|=x+3, и исходное уравнение преобразуется к виду |2x+3|=1. Решая это уравнение, получаем корни -2 и -1.

2) При x<-3 раскрываем внутренний модуль: |x+3|=-x-3. Получаем уравнение |-3|=1, которое решений не имеет.

Ответ. {-2;-1}.

Пример 5. Решить уравнение

    [|x-3|+|x+3|=6.]

Решение. Из геометрических свойств модуля имеем: |x-3| — это расстояние между точкой x и точкой 3, |x+3| — расстояние между точкой x и точкой -3. Таким образом, |x-3|+|x+3| — это сумма расстояний от точки x до точек -3 и 3. Поскольку расстояние между точками -3 и 3 равно 6, то любая точка x, лежащая на числовой оси между точками -3 и 3, удовлетворяет условию. Точек, лежащих вне отрезка [-3;3], удовлетворяющих условию, не существует, поскольку сумма расстояний от этих точек до концов данного отрезка очевидно больше 6.

Ответ. [-3;3].

Задачи. Решите уравнения:

1. |x+8|+|x-8|=16.

2. |x^2-3x|+x=2.

3. displaystylefrac{x+1}{|x-1|}-5frac{|x-1|}{x+1}+4=0.

4. ||x+2|+x|=1.

Ссылка на основную публикацию