Наиболее часто используемый способ решения задач с модулем состоит в том, что модуль раскрывается на основании определения. Для этого находим, при каких значениях переменной выражение, стоящее под модулем, неотрицательно, а при каких — отрицательно. Рассмотрим этот метод на примерах.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Рассмотрим первый случай , то есть
(выражение под модулем неотрицательно). Уравнение в этом случае принимает вид
, его решение
. Это решение удовлетворяет условию
. Таким образом,
— корень исходного уравнения.
Во втором случае , то есть
. В этом случае уравнение преобразуется к виду
, его решение
. Этот корень не удовлетворяет условию
, таким образом,
не является корнем исходного уравнения.
Ответ. .
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Сначала найдем корни уравнения . Это
. Следовательно, условие
выполняется при
и при
, а условие
— при
. Рассмотрим два случая:
1) .
Исходное уравнение на этом множестве имеет вид .
Его корни . Из них только
попадает под наш случай. Докажем это:
Так как , то
, и, действительно,
. Для доказательства левой части двойного неравенства возведем его в квадрат (это можно сделать, поскольку обе части неравенства неотрицательны):
Так как , последнее неравенство также выполняется, и корень
— посторонний. Из очевидной цепочки неравенств
следует, что
является корнем уравнения.
2) .
В этом случае , и от исходного уравнения мы переходим к уравнению
. Решения этого уравнения:
и
. Из них только число
попадает на указанный промежуток:
корень — посторонний.
Ответ.
Замечание. Здесь описан стандартный прием, всегда приводящий к цели. Однако, как мне совершенно справедливо указали в комментариях Nynko и Талгат, существуют и более простые способы решения данного примера.
Вот что предлагает Nynko. Нужно решить эквивалентную совокупность систем :
и
Сравнивать полученные корни теперь придется с рациональным числом , что намного проще.
Если под модулем стоит более простое выражение, чем выражение в правой части, то нужно применять метод, описанный в примере 2.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Корни выражений, стоящих под модулем, — и
. Числовая ось разбивается точками
и
на три промежутка, изображенных на рис. 12:

Рис. 12
Рассмотрим каждый из этих случаев.
1) . Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, неотрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду
. Решение этого уравнения
. Этот корень попадает на промежуток
и поэтому является решением исходного уравнения.
2) . Поскольку первое выражение, стоящее под модулем, положительно, а второе отрицательно на рассматриваемом промежутке, то исходное уравнение преобразуется к виду
. Решение этого уравнения
. Поскольку
не попадает на рассматриваемый промежуток
, то этот корень — посторонний.
3) . Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, отрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду
. Решение этого уравнения
. Этот корень принадлежит промежутку
и является решением исходного уравнения.
Ответ. .
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Для решения этого уравнения раскроем модули, начиная с внутреннего. Рассмотрим два случая: 1) и 2)
.
1) В этом случае , и исходное уравнение преобразуется к виду
. Решая это уравнение, получаем корни
и
.
2) При раскрываем внутренний модуль:
. Получаем уравнение
, которое решений не имеет.
Ответ. .
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Из геометрических свойств модуля имеем: — это расстояние между точкой
и точкой
,
— расстояние между точкой
и точкой
. Таким образом,
— это сумма расстояний от точки
до точек
и
. Поскольку расстояние между точками
и
равно
, то любая точка
, лежащая на числовой оси между точками
и
, удовлетворяет условию. Точек, лежащих вне отрезка
, удовлетворяющих условию, не существует, поскольку сумма расстояний от этих точек до концов данного отрезка очевидно больше
.
Ответ. .
Задачи. Решите уравнения:
1. .
2. .
3. .
4. .