Задачи теории вероятностей. Основные понятия

Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая закономерности случайных событий, которые наблюдаются при многократном повторении опыта. На ее основе построены математическая и прикладная статистика. Ниже введен ряд основных понятий, которые Вам нужно понять при изучении курса теории вероятностей.

Под испытанием (экспериментом) понимают некоторую совокупность условий, при которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. Опыт может проводиться многократно в подобных (неизменных основных) условиях, однако ряд второстепенных условий и факторов, которые невозможно проконтролировать изменяется от испытания к испытанию и приводят к разным результатам последствий эксперимента.

Случайным событием (событием) называется любой факт, который в результате эксперимента может состояться или не состояться. Случайные события обозначают большими латинскими буквами .

Вероятностью события называется численная мера свободы уверенности в появлении данного события вследствие нового испытания.

Вероятность события обозначается как .

Вероятной (достоверностью) называется событие , которое в результате испытания непременно должно произойти. Для достоверного события вероятность равна единице .

Невозможным называется такое событие , которое в результате опыта не может произойти.
Для невозможного события вероятность равна нулю .

Вероятность любого случайного события принимает значения между нулем и единицей:

.

Полной группой событий называется ряд таких событий , что в результате испытания непременно должно произойти хотя бы одно из них. Несколько событий в опыте называются несовместимыми, если никакие два из них не могут появиться одновременно.

Несколько событий в испытании называются равновозможными, если они имеют равные шансы появления в результате испытания. Примерами равновозможных событий можно отметить появление: герба или цифры при одном подбрасывании монеты; четного и нечетного числа очков при одном подбрасывании игрального кубика и т.д.

Если последствия испытания образуют полную группу несовместных равновозможных событий, то они называются случаями.

Множество всех результатов эксперимента, которое рассматривается называется пространством элементарных событий.

Следствие (случай) называется благоприятным событию , если оно приводит к обязательному появлению события .

Классическое определения вероятности

Если результаты испытания сводятся к схеме случаев, то вероятность события вычисляется по формуле

Где – общее число случаев; – число случаев, благоприятствующих событию .

Приведенное соотношение является классической формулой вычисления вероятности событий.

———————————————-

Приведем несколько типичных примеров.

Пример 1. В цеху по изготовлению мячей для гольфа в одной коробке было 67 мячей правильной формы и 23 мяча неправильной формы в другой. Мячи ссыпали в одну коробку. Какова вероятность того, что наугад извлечен мяч будет неправильной формы ?

Решение

Общее число равновозможных событий равна количеству всех мячей

Число способствующих событий, которые заключается в извлечении бракованного мяча — равны их количеству

По формуле вычисляем

———————————————-

Пример 2. На столе выложены кубики с номерами от единицы до девяти. Ученик наугад вытаскивает один кубик. Какова вероятность того, что:

— число из кубика делится на 3?

— число делится на 2?

Решение

Общее число случайных событий равно количеству кубиков

Число способствующих событию можно изобразить в виде множества , для В множество благоприятных событий будет следующим На основе этого число принимает значение и для первого и второго события соответственно. Вероятность их появления определяем по известной формуле

Пример 3. В группе 17 ребят и 13 девушек. Преподавателю нужно вызвать кого-то для проверки выполнения домашних заданий. Какова вероятность того, что к доске выйдет девушка?

Решение

Общее число равносильных событий равно количеству учащихся

Число девушек равно

Тогда искомая вероятность

 

Ссылка на основную публикацию