Вычисление числовых характеристик двух дискретных случайных величин (X, Y)

Законом распределения двух дискретных случайных величин называют перечень возможных значений и соответствующих им вероятностей совместного появления. В табличной форме этот закон имеет следующий вид

закон распределения двух дискретных величин

При подаче таблице использованы следующие обозначения

вероятность, формула

вероятность, формула

Условие нормировки для двух дискретных случайных величин имеет следующий вид:

условие нормировки

Основные числовые характеристики для случайных величин , образующих систему

Математическое ожидание определяется по формуле

математическое ожидание, формула
математическое ожидание, формула

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение для каждой дискретной величины определяют по правилам

дисперсия, формула

дисперсия, формула

При изучении системы двух и более случайных величин приходится выяснять наличие связи между этими величинами и его характер. С соответствующей целью применяют корреляционный момент

В случае нулевого значения корреляционного момента связь между величинами и, и, принадлежащих системе отсутствует.

Когда момент отличен от нуля , то между дискретными величинами и существует корреляционная связь. Тесноту корреляционной связи характеризует коэффициент корреляции

, или

Итак, если случайные величины и независимы, то корреляционный момент равен нулю и . Равенство нулю является необходимым, но не достаточным условием независимости случайных величин. Может существовать система зависимых случайных величин, в которой коэффициент корреляции равен нулю. Примером такой системы является система двух случайных величин, которая равномерно распределена внутри круга радиусом с центром в начале координат. Две случайные величины и называют некоррелированными, если коэффициент корреляции равен нулю , и коррелированными в противном случае Следовательно, если и независимы, то они будут и некоррелированными. Но с некоррелированности случайных величин в общем случае не следует их независимость.

——————————————

Приведем решение распространенного на практике примера.

Пример 1. Задан закон распределения системы двух дискретных случайных величин (X,Y):

закон розподілу системи двох дискретних випадкових величин (X,Y)

Найти неизвестную константу . Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее матиматичне отклонения, корреляционный момент и коэффициент корреляции

Решение. Применяя условие нормирования, находим каонстанту


По найденным закон системы набирает такой вид:

Основные числовые характеристики вычисляем по приведенным выше формулам. Математическое ожидание величины X получит значение

Дисперсия и среднее квадратичное отклонение набудут вида

дисперсия, формула

Аналогичные вычисления выполняем для нахождения числовых характеристик случайной величины Y

дисперсия, формула

Находим математическое ожидание появления обоих событий

Значение корреляционного момента вычисляем по формуле

корреляционный момент, формула

Поскольку корреляционный момент отличен от нуля , то между соответствующими величинами X и Y существует корреляционная связь.

Для измерения тесноты корреляционной связи вычислим коэффициент корреляции

коэффициент корреляции, формула

——————————

Подобных примеров можно найти немало в интернете и решебниках по теории вероятностей. Принцип их решения остается неизменным, поэтому хорошо проанализируйте приведенный пример. Если возникают трудности в вычислениях — обращайтесь, мы Вам поможем.

Ссылка на основную публикацию