Равномерный закон распределения. Примеры

Целочисленных случайная величина Х имеет равномерный закон распределения, если вероятности ее возможных значений одинакова от эксперимента к эксперименту и вычисляются формуле
равномерный закон распределения, вероятность, формула

В табличной форме записи равномерный закон распределения имеет вид:
равномерный закон распределения вероятностей, таблица

Условие нормировки для равномерного закона распределения имеет вид

условие нормировки, равномерный закон распределения, формула

Вероятностная образующая функция на основе первой формулы принимает значение

вероятностная образующая функция, формула, равномерный закон распределения

вероятностная образующая функция, формула

или

вероятностная образующая функция

Числовые характеристики равномерного закона находим на основе образующей функции

1. Математическое ожидание находим по формуле

математическое ожидание, формула

При х = 1 получаем неопределенность которую раскрываем по правилу Лопиталя

При х = 1 нова имеем неопределенность вида которую также раскрываем по правилу Лопиталя

математическое ожидание, формула

Вычисление заняли богатая времени, однако формула для математического ожидания получилась довольно легкой.

2. Выполнив подобные, но более громоздкие преобразования, дисперсию и среднее математическое отклонение находим по формулам

дисперсия, формула

среднее математическое отклонение, формула

3. Для равномерного распределения вероятностей асимметрия и эксцесс равны нулю

асимметрия, эксцесс, формула

Есть и другое определение, согласно которому функция имеет равномерное распределение, если некотором интервале плотность вероятностей принимает постоянное значение

плотность вероятностей, равномерное распределение, формула

Функция распределения вероятностей для равномерного закона определяется интегрированием

функция распределения вероятностей, формула

Математическое ожидание в таких случаях определяют зависимости

математическое ожидание, формула

дисперсию по формуле

дисперсия, формула

и среднее квадратическое отклонение через корень

среднее квадратическое отклонение, формула

Вероятность попадания случайной величины Х в некоторый интервал , содержащийся внутри интервала определяется по формуле

вероятность попадания в интервал, формула

Приведенные формулы часто являются применимыми на практике чем те, которые были даны выше.

Рассмотрим примеры отыскания числовых характеристик.

——————————————

Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение М (Х), D (X), S (Х), Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х имеет равномерный закон распределения и возможные значения ее значение лежит в диапазоне 1..50:

.

Решение. По условию задачи имеем следующие данные n = 50, p = 1/50=0,02.

Согласно формулам вычисляем математическое ожидание

математическое ожидание, вычисление

дисперсия

дисперсия, вычисление

среднее квадратическое отклонение

среднее квадратическое отклонение, вычисление

——————————————-

Пример 2. Поезда в метро прибывают на станцию ??каждые 10 минут. Определить вероятность того, что время ожидания состава не будет больше 4 минуты.

Решение. По условию задачи имеем два интервала

Согласно формуле, искомая вероятность равна доле этих величин

Задачи на отыскание интервала попадания случайной величины, распределена по ривнимирним законом решайте по такой же схеме. Она проста и не требует сложных вычислений.

Ссылка на основную публикацию