Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Равномерным распределением непрерывной случайной
величины называется распределение, в котором значения случайной величины с двух сторон
ограничены и в границах интервала имеют одинаковую вероятность. Это означает, что в
в данном интервале плотность вероятности постоянна.

Таким образом, при равномерном распределении плотность вероятности
имеет вид

Значения f(x) в крайних
точках a и b участка (a, b)
не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной случайной величины
равна нулю.

Кривая равномерного распределения имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок
(a, b) (рисунок ниже), в связи с чем равномерное распределение
иногда называют «прямоугольным».

Как найти вероятность попадания случайной величины X, равномерно
распределённой на участке (a, b) на любую
часть (α, β) участка
(a, b) ?

Эта вероятность находится по формуле

и геометрически представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рисунке ниже и
опирающуюся на часть (α, β) участка
(a, b):

Функция распределения F(x) непрерывной случайной величины при равномерном
распределении имеет вид

Характеристики равномерного распределения:

• среднее значение (математическое ожидание) ;
• дисперсия ;
• стандартное отклонение ;
• равномерное распределение не имеет моды.

Пример 1. Наблюдения показали, что вес ящика,
предназначенного для транспортировки овощей, является равномерно распределённой
случайной величиной в интервале от 985 г. до 1025 г. Случайно выбран один ящик. Найти
характеристики равномерно распределённой случаной величины при условиях, которые
будут указаны в решении.

Решение. Найдём вероятность того, что вес данного ящика будет в
интервале от 995 г. до 1005 г. :

.

Найдём среднее значение непрерывной случайной величины:

.

Найдём стандартное отклонение:

.

Определим, у скольки процентов ящиков вес находится на удалении
одного стандартного отклонения от среднего значения (т. е. в интервале
):

.

Пример 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом
2 (мин.). Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени, никак не связанный с расписанием
поездов. Случайная величина T — время, в течение которого ему придётся ждать поезда,
имеет равномерное распределение. Найти плотность распределения f(x)
случайной величины T, её математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Найти
вероятность того, что ждать придётся не больше полминуты.

Решение. Найдём плотность распределения f(x):

f(x) = 1/2 (0 < x < 2).

Найдём математическое ожидание случайной величины:

μ = (2 + 0)/2 = 1.

Найдём дисперсию:

σ² = 2²/12 = 1/3.

Стандартное отклонение:

σ = (√3)/3.

Найдём вероятность того, что пассажиру придётся ждать поезда не больше полминуты:

P{T < 1/2} = 1/4.

Пример 3. Случайная величина X распределена равномерно на участке
(a, b). Найти вероятность того, что в результате опыта она
отклонится от своего математического ожидания больше, чем на 3σ.

Решение. Найдём стандартное отклонение:

σ = (b — a)/(2√3);

3σ = 3(b — a)/(2√3) = √3(b — a)/2;

При равномерном распределении на участке (a, b)
крайние точки a и b, ограничивающие участок возможных значений случайной величины, отстоят
от её математического ожидания μ = (a + b)/2
на расстояние (b — a)/2, которое меньше, чем
√3(b — a)/2. Следовательно, вероятность события,
обозначенного в условии задачи, равна нулю.