Распределения Пуассона. Решение задач

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если вероятности ее возможных значений

закон распределения Пуассона, вероятность

вычисляется по формуле Пуассона, где a=np<10. Как правило, Пуассоновское распределение касается вероятности появления благоприятного события в большом количестве экспериментов, если в одном — вероятность успешного завершения стремится к нулю.

В табличной форме этот закон распределения имеет вид

распределение Пуассона, таблица

Условие нормировки для пуассоновского закона распределения запишется следующим образом

условие нормировки, распределение Пуассона

Построим образующую функцию вероятностей для приведенного закона

вероятностная образующая функция, формула

Она принимает достаточно простой компактный вид

вероятностная образующая функция, формула

Воспользовавшись зависимостями для определения математического ожидания М (Х) и дисперсии D (X) через производные от образующей функции в единице, получим их простые зависимости

1. Математическое ожидание определяется по формуле

математическое ожидание, вычисление

математическое ожидание, формула

2. Имея вторую производную от образующей функции в единице

вторая производная образующей функции, вычисление

находят дисперсию

дисперсия, определение
дисперсия, формула

Среднее квадратическое отклонение вычисляем через квадратный корень из дисперсии

среднее квадратическое отклонение, формула

Следовательно, для пуассоновского закона распределения вероятностей математическое ожидание и дисперсия равны произведению количества опытов на вероятность благоприятной события

На практике, если математическое ожидание и дисперсия близкие по значению то принимают гипотезу, что исследуемая величина имеет закон распределения Пуассона.

3. Асимметрия и эксцесс для пуассоновский закон также уровни и вычисляются по формулам

асимметрия, эксцесс, формула

Рассмотрим несколько задач.

—————————————-

Задача 1. Микропроцессор имеет 10000 ранзисторов, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что транзистор выйдет из строя во время работы прибора, является величиной маловероятной и составляет 0,0007. Определить математическое ожидание М (Х) и среднее квадратическое отклонение S (Х) случайной величины Х — исла транзисторов, выйдут из строя во время работы процессора.

Решение. Задача удовлетворяет всем законам пуассоновский распределения:

количество испытаний n=10000 велика;

вероятность р=0,0007 близка к нулю;

их произведение a=np=7<10.

На основе данных вычисляем заданные величины

математическое ожидание, нахождение

дисперсия, нахождение

среднее квадратическое отклонение, нахождение

————————————

Задача 2. В рыбацком городке 99,99% мужчин хотя бы раз в жизни были на рыбалке. Проводят социологические исследования среди 10000 наугад выбранных мужчин. Определить дисперсию D (X) и среднее квадратическое отклонени S (Х) случайной величины Х — числа мужчин, которые ни разу не были на рыбалке.

Решение. егко убедиться, что величина Х имеет пуассоновский закон распределения. С условия задачи находим

По формулам находим дисперсию и среднее квадратическое отклонение

дисперсия, вычисления

среднее квадратическое отклонение

Можно найти в гугле еще много подобных задач, всех их объединяет изменение случайной величины по закону Пуассона. Схема нахождения числовых характеристик приведена выше и является общей для всех задач, кроме того формулы для вычислений достаточно простыми даже для школьников.

Ссылка на основную публикацию