Плотность вероятностей f (x, y) системы двух непрерывных случайных величин. Задачи

Характеристикой системы непрерывных случайных величин является плотность вероятностей. Для определения плотности вероятностей системы двух непрерывных случайных величин применяется формула

Рассмотрим прямоугольник со сторонами и

плотность вероятностей системы двух непрерывных случайных величин, формула

Вероятность размещения системы в прямоугольной области вычисляется по формуле
вероятность попадания системы (X, Y) в прямоугольник, формула
вероятность попадания системы (X, Y) в прямоугольник, формула

Разделив эту вероятность на площадь прямоугольника и направив прирост аргумента к нулю получим вероятность в точке, то есть плотность:





Итак, плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин определяется зависимостью
плотность вероятностей системы двух случайных величин, формула

Функция может существовать только при условии, что функция распределения является непрерывной по аргументам и и дважды дифференцируемой. Функции в трехмерном пространстве соответствует определенная поверхность — так называемая поверхность распределения вероятностей системы двух непрерывных случайных величин . Тогда вероятность размещения системы двух случайных величин в прямоугольнике со сторонами .

Свойства плотности распределения вероятностей системы двух непрерывных случайных величин f (x, y)

1. является неотъемлемой функцией, поскольку является неубывающей относительно аргументов и .

2. Условие нормирования системы двух непрерывных случайных величин такая:
условие нормировки системы двух непрерывных случайных величин, формула

Если , то приведенная условие принимает вид:
условие нормировки системы двух непрерывных случайных величин, формула

3.Вероятность размещения системы переменных в области вычисляется так:
вероятность размещения системы переменных (x, y) в области, формула

Вероятность размещения системы переменных в прямоугольной области определяется интегрированием
вероятность размещения системы переменных в прямоугольной области, формула

4. Функция распределения вероятностей системы двух переменных определяется из уравнения
функция распределения вероятностей системы двух переменных, формула

5. Если область задана прямоугольником , о функция распределения вероятностей имеет вид интеграла
функция распределения вероятностей в прямоугольной области, формула
Рассмотрим следующий пример для закрепления материала.

——————————————

Задача. Дана поверхность распределения вероятностей для системы двух непрерывных случайных величин следующим законом:

функция является константой , если аргументы относятся прямоугольной области ;
и равна нулю вне его ;
Прямоугольник задан областью
Найти параметр и функция распределения вероятностей . Вычислить вероятность попадания аргументов во внутренней прямоугольник ограничен областью

Решение. Прежде всего нарисуем прямоугольники, заданных условиями задачи. Это внесет некоторую ясность в процесс решения

Параметр определяем из условия нормировки:

условие нормировки

Таким образом, получили что поверхность распределения вероятностей системы двух непрерывных случайных величин равна для аргументов с прямоугольной области и нулю вне ее Согласно 5 свойства в прямоугольнике определяем закон распределения вероятностей
закон распределения вероятностей

За его пределами функция принимает значения Аргументы принадлежат области
закон распределения вероятностей

Если , то имеем
закон распределения вероятностей

Для функция равна
закон распределения вероятностей
и при принимает нулевое значение

На основе приведенных выше расчетов функция распределения вероятностей имеет вид
функція розподілу ймовірностей

Вычисляем вероятность попадания аргументов во внутренней прямоугольник
вероятность попадания (X,Y) в прямоугольник
вероятность попадания (X, Y) в прямоугольник

Полное отыскания функции распределения вероятностей достаточно частой задачей на практике и Вы должны уметь его выполнять. Для этого нужно интегрировать функцию плотности вероятностей. Таким образом изучая теорию вероятности — Вы на практике совершенствуете навыки интегрирования.

Ссылка на основную публикацию