Начальные и центральные моменты. Задачи, формулы

Обобщенными числовыми характеристиками для случайных величин в теории вероятностей а также математической статистике являются начальные и центральные моменты. Задачи на отыскание моментов являются неотъемлемой частью теории вероятностей и математической статистики. Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание от величины в k-ой степени

начальный моменты k-го порядка

Когда
Когда и т. д.

Для дискретной случайной величины начальные моменты определяют зависимостью

начальный моменты k-го порядка, дискретная величина

для непрерывной интегрированием

начальный моменты k-го порядка, непрерывная величина

Если непрерывная величина задана интервалом , то моменты вычисляют по формуле

начальный моменты k-го порядка, непрерывная величина на интервале

Центральным моментом k-го порядка называют математическое ожидание от величины

центральный момент k-го порядка, формула

Когда

для имеем

при

при

и так далее.

Для дискретной случайной величины центральные моменты вычисляют по формуле

центральный момент k-го порядка, дискретная величина, формула

для непрерывной по следующей

центральный момент k-го порядка, непрерывная величина, формула

Если случайная величина определена интервалом , то центральные моменты определяют интегрированием

центральный момент k-го порядка, интервал, формула

Рассмотрим пример отыскания приведенных величин.

————————————

Пример 1. Задана функция плотности вероятностей

функция плотности вероятностей
Вычислить начальные и центральные моменты второго и третьего порядка .
Решение. Для вычисления начальных моментов выполним интегрирование по вышеприведенным формулам

начальный момент 2-го порядка

начальный момент 2-го порядка
Промежуточные операции при интегрировании пропущены, они занимают много места, а Вам главное иметь инструкцию для вычислений, так как примеры у Вас будут другие.
Для вычисления центральных моментов инерции необходимо знать математическое ожидание случайной величины, поэтому определяем его первее

математическое ожидание
Найдено математическое ожидание подставляем в формулу центральных моментов. В случае получим

центральный момент 2-го порядка
и при будем иметь

ццентральный момент 3-го порядка
На этом решения примера завершено, функция плотности вероятностей приведена на графике

функция плотности вероятностей, график, рисунок

————————————

Примеры нахождения начальных и центральных моментов будут рассмотрены в следующей статье. Задачи совсем не сложные, а вычисления величин сводится к возведения в степень, интегрирование, умножение и суммирование.

Ссылка на основную публикацию