Гипергеометрическое распределение вероятностей. Решение

Гипергеометрический закон распределения вероятностей столь тяжелый при первом ознакомлении, что лучше всего его объяснять на конкретном примере.

Пусть задано некоторое множество однотипных элементов, число которых равно N; из них K элементов имеют, например, признак А (цвет, стандартность, наполнения), а остальные N-K элементов — признак В. С этого множества наугад берут n еэлементов. Случайная величина X – число элементов с признаком вида А, что случается среди n наугад взятых элементов. Тогда X принимает значения k=0,1,2,…,min(n,K) , а вероятность их появления определяется гипергеометрическим законом распределения

гипергеометрический закон распределения, вероятность

В табличной форме записи этот закон распределения имеет вид

гипергеометрический закон распределения вероятностей, таблица

Напомним, что сочетание находим по формуле

сочетания, формула

а факториал функцию по правилу– факториал, функция, формула

При n=k і k=0 сочетание равное единице.

свойства сочетания

Условие нормировки для гипергеометрического распределения имеет вид

условие нормировки, гипергеометрическое распределение

В зависимости от условия задачи наименьшее значение может составлять m = 0, 1, 2, 3, …, m.

Числовые характеристики этого закона вычисляются по приведенным ниже формулам:

1. Математическое ожидание

математическое ожидание, формула

2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

дисперсия, формула

среднее квадратическое отклонение, формула

3. Для асимметрии

асимметрия, формула

и эксцесса

эксцесс, формула

формулы имеют довольно громоздкий вид, поэтому их, как правило, вычисляют в Эксель, или математических программах (Maple, MathCad, Mathematica).

Рассмотрим несколько примеров на применение приведенных выше формул

——————————————

Пример 1. В ящике содержится 10 однотипных деталей, из них 7 стандартных, а остальные являются бракованными. Наугад из ящика берут m деталей. Построить законы распределения целочисленной случайной величины Х — появление числа стандартных деталей среди m наугад взятых и вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D (X), и среднее математическое отклонение S(Х), если:

I. m = 3; II) m = 4; III) m = 5; IV) m = 7.

Решение. Используя формулу (253) построим гипергеометрические законы распределения:

I. Имеем следующие начальные условия для случая выбора трех деталей

n = 3; N=10; K= 7; N-K= 3; k = 0, 1, 2, 3.

В табличной форме гипергеометрический закон для этих данных имеет вид

гипергеометрический закон, пример

или после вычисления сочетаний

сочетание, вычисление

сочетание, нахождение

сочетание, определение

сочетание, расчет

в виде таблицы вероятностей

гипергеометрическое распределение, вычисления

Условие нормирования

условие нормировки, проверка

выполняется, следовательно все верно посчитано. Не ленитесь проверять его, оно намного скорее укажет Вам на присутствие ошибки при неправильной правой части. Вычисляем числовые характеристики:

Математическое ожидание

математическое ожидание, расчет

Дисперсию

математическое ожидание квадрата величины, нахождение

дисперсия, нахождение

Среднее квадратичное отклонение

среднее квадратичное отклонение, нахождение

ІІ. Выбирают четыре детали

n = 4; K= 7; N-K= 3; k = 1, 2, 3, 4.

В табличной форме закон распределения запишется формулами

закон распределения, таблица

или после вычислений в виде таблицы

закон распределения, значение

Проверяем условие нормировки для найденных значений

условие нормировки, проверка

Оно выполняется, следовательно можем вычислять числовые характеристики по приведенным выше формулам:

математическое ожидание примет значение

математическое ожидание, вычисление

дисперсию и среднее квадратичное отклонение определяем по схеме предыдущей задачи

математическое ожидание квадрата величины, вычисление

дисперсия, определение
среднее квадратичное отклонение, корень квадратный.

ІІІ. Выбирают пять деталей

т = 5; K = 7; N-K = 3; k = 2, 3, 4, 5.

В табличной форме закон подается в виде

гипергеометрический закон распределения вероятностей, таблица

или таблицы значений

гипергеометрический закон распределения вероятностей, значение

Условие нормирования

условие нормировки, проверка

выполняется. Вычисляем математическое ожидание

математическое ожидание, определение

Составляющую дисперсии

математическое ожидание квадрата величины, расчет

дисперсию и среднее квадратичное отклонение

дисперсія, обчислення.

среднее квадратичное отклонение, расчет

IV.) Выбирают семь деталей

т = 7; K= 7; N-K= 3; k = 4, 5, 6, 7.

В табличной форме данное деление принимает значение

закон распределения, таблица

или после вычислений

закон распределения, значение

Условие нормирования
умова нормування, виконання
выполняется.

Числовые характеристики определяем на основе формул:

математическое ожидание

математическое ожидание, вычисление

математическое ожидание квадрата величины

математическое ожидание квадрата величины, вычисление

дисперсию

дисперсия, расчет

среднее квадратичное отклонение

среднее квадратичное отклонение, вычисление

На этом решение задачи завершено. Будьте внимательны при решении примеров на гипергеометрическое распределение, поскольку достаточно часто требуется находить сочетание и при упрощении факториалов можно допустить ошибку.

Ссылка на основную публикацию