Геометрическое распределение. Примеры

Геометрический закон распределения имеет место в таких науках как микробиология, генетика, физика. На практике эксперимент или опыт осуществляют до первого появления успешной события А. Число проведенных попыток будет целочисленной случайной величиной 1,2,…. Вероятность появления события А в каждом опыте не зависит от предыдущих и составляет p, q=1-p. Вероятности возможных значений случайной величины Х определяется зависимостью

геометрический закон распределения, вероятность

Есть во всех предыдущих опытах кроме k-го експернимент дал плохой результат и только в k-му был успешным. Данную формулу вероятностей называют геометрическим законом распределения, поскольку правая его часть совпадает с выражением общего элемента геометрической прогрессии.

В табличной форме геометрический закон распределения имеет вид

геометрический закон распределения, таблица

При проверке условия нормировки используется формула суммы бесконечной геометрической прогрессии

условие нормировки, формула

Вероятностную образующую функцию выражаем по формуле

вероятностная образующая функция, формула

Поскольку то образующую функцию можно просуммировать

вероятностная образующая функция, формула

Числовые характеристики для геометрического закона распределения вероятностей определяют по формулам:

1. Математическое ожидание

математическое ожидание, определение

математическое ожидание, вычисление
математическое ожидание, формула

2. Дисперсию и среднее квадратическое отклонение по формулам

дисперсія, формула
среднее математическое отклонение, формула

3. Коэффициент асимметрии и эксцесса для геометрического распределения определяют по формуле

коэффициент асимметрии, формула

эксцесс, формула

Среди дискретных случайных величин только геометрическому закону дано свойство отсутствия последействия. Это означает, что вероятность появления случайного события в k-ом эксперименте не зависит от того, сколько их появилось до k-го, и всегда равна p.

—————————————

Пример 1. Игральная кость подбрасывается до первого появления цифры 1. Определить все числовые характеристики М (Х), D (X), S (Х), A(X), E(X) для случайной величины Х числа осуществляемых подбрасываний.

Решение. По условию задачи случайная величина Х вляется целочисленной с геометрическим закон распределения вероятностей. Вероятность успешного подбрасывания величина постоянная и равна единице разделенной на количество граней кубика

Имея p,q необходимые числовые характеристики Х находим по приведенным выше формулам

математическое ожидание, вычисление

дисперсия, вычисление

среднее квадратическое отклонение, вычисление

асимметрия, нахождение

эксцес, нахождение

————————————

Пример 2. Охотник-любитель стреляет из ружья по неподвижной мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле является величиной постоянной и равна 0,65. Стрельба по мишени ведется до первого попадания.

Определить числовые характеристики М (Х), D (X), S (Х), A(X), E(X) числа израсходованных охотником патронов.

Решение. Случайная величина Х подчиняется геометричниму закона распределения поэтому вероятность попадания в каждой попытке постоянна и составляет p=0,65;q=1-p=0,35.

По формулам вычисляем математическое ожидание

математическое ожидание, определение

дисперсию

дисперсия, нахождение

среднее квадратическое отклонение

среднее квадратическое отклонение, определение

асимметрию

асимметрия, вычисления

эксцесс

эксцесс, вычисления

Вычисление числовых характеристик для геометрического закона распределения не так сложны, поэтому пользуйтесь приведенным формулам в подобных задачах и получайте только правильные результаты.

Ссылка на основную публикацию