Функция распределения вероятностей системы двух случайных величин. Вероятность попадания в прямоугольник

Функцией распределения вероятностей системы двух случайных величин называют такую функцию двух аргументов , которая определяет вероятность совместное появления событий

функция распределения вероятностей системы двух случайных величин

Проекция этой функции на плоскость изображена на рисунке

Свойства функции распределения вероятностей

1. Она принимает значения от нуля до единицы , поскольку

2. Если один из аргументов стремится к бесконечности то функция распределения системы стремится к функции распределения одного аргумента, не стремится к а именно:

свойства функции распределения
свойства функции распределения

3. Если оба аргумента стремятся к бесконечности то значение функции в этих точках стремится к единице

свойства функции распределения

4. Если аргументы направляются к противоположному краю плоскости (минус бесконечности) то функция стремится к нулю

свойства функции распределения

5. Функция распределения вероятностей является неубывающей функцией своих аргументов и .

6. Вероятность попаданий аргументов функции в прямоугольник вычисляется по формуле

вероятность попаданий аргументов функции в прямоугольник, формула

Рассмотрим задачу на последнее правило.

——————————————

Пример. Закон распределения системы двух непрерывных случайных величин задан функцией распределения вероятностей

закон распределения системы двух непрерывных случайных величин

Вычислить вероятность попадания точки в прямоугольник .

Решение. Для полного представления прямоугольника попадания изобразим его графически

прямоугольник попадания

По правилу искомая вероятность определяется зависимостью

вероятность попадания точки в прямоугольник

Вычислим составляющие




Последние три слагаемые можно было и не искать, с первого условия функции распределения

следует, что по осям она принимает нулевые значения.

Таким образом, искомая вероятность равна

вероятность попадания точки в прямоугольник

Графики функции распределения вероятностей приведены ниже

функция распределения вероятностей, рисунок

функция распределения вероятностей, рисунок

Они выполнены в среде Maple. В этой программе легко строить 3D графики и функция распределения вероятностей хорошо для этого подходит.

Ссылка на основную публикацию