Формула Байеса: теория и примеры решений задач

  • Формула Байеса: теория
  • Формула Байеса: примеры решения задач

Формула Байеса: теория

Следствием правила умножения и формулы полной вероятности
является формула Байеса, называемая также формулой гипотез.

Представим себе следующую ситуацию. До опыта о его услових можно
было сделать ряд гипотез
(в литературе можно также встретить их обозначение не буквой B, а буквой
H), несовместных и образующих полную группу.

Вероятности гипотез до опыта
(называемые также априорными вероятностями) заданы и равны

.

Теперь предположим, что опыт произведён и в его результате
появилось событие A.

Как нужно пересмотреть вероятности гипотез с учётом этого факта?

Формула Байеса позволяет найти вероятность каждой из гипотез о
том, в результате какого из событий, образующих полную систему, наступило событие
A (или как часто говорят, найти апостериорные
вероятности).

Поэтому формула Байеса представляет собой отношение
произведения вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого
события относительно соответствующего события системы к полной вероятности наступления
события A с учётом всех событий системы.

То есть, по формуле Байеса вероятность, как и в самых простых случаях,
вычисляется как отношение «одного ко всем»:

формула байеса в наиболее общем виде.

Видим, что знаменатель в этой формуле — ничто иное, как полная
вероятность события A, а числители для каждого
отдельного случая равны первому, второму, и так далее до n-го слагаемому
суммы, находящейся в знаменателе.

Формула Байеса может быть также записана в виде

формула байеса в альтернативной форме.

Формула Байеса: примеры решения задач

Пример 1. Имеются три урны; в первой 3 белых шара
и 1 чёрный, во второй — 2 белых шара и 3 чёрных, в третьей — три
белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Этот
шар оказался белым. Найти послеопытные (апостериорные) вероятности того, что этот
шар вынут из первой, второй, третьей урны.

Решение. Гипотезы:

— выбрана первая урна;

— выбрана вторая урна;

— выбрана третья урна.

Так как урна выбирается наугад, то априорные вероятности
гипотез раны:

.

В результате опыта появилось событие A
из выбранной урны вынут белый шар.

Условные вероятности события A относительно
каждой из гипотез:

,
,
.

Применяя формулу Байеса, находим апостериорные вероятности гипотез:

;

;

.

Пример 2. Пример с теми же лампочками, что и в
примере 2. Пусть количество и качество электролампочек, поставляемых в магазины
некоторого района, определены условиями примера 2. Купленная лампочка оказалась
стандартной. Пользуясь формулой Байеса, найти вероятности гипотез о том, что лампочка была изготовлена на первом
заводе, на втором, на третьем.

Решение. Итак, для каждой из гипотез в числителе должно быть
произведение вероятности одного из событий системы на условную вероятность этого
события относительно соответствующего события системы, а в знаменателе — полная вероятность
собыия A.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на первом
заводе и стандартна:
.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на втором
заводе и стандартна:
.

Вероятность того, что купленная лампочка изготовлена на третьем
заводе и стандартна:
.

Вычисляя по формуле Байеса, получаем:

— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на первом заводе

;

— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на втором заводе

;

— вероятность того, что купленная стандартная лампочка изготовлена на третьем заводе

.

Пример 3. До опыта об его условиях можно было
сделать четыре гипотезы: ,
,
,
с
вероятностями, равными, соответственно

;

;

;

.

В результате опыта появилось событие A,
которое невозможно при гипотезах ,
и
достоверно при гипотезах ,
.
Найти апостериорные вероятности гипотез.

Решение. Условные вероятности гипотез:

;

.

По формуле Байеса получаем:

;

;

.

Пример 4. Расследуются причины авиационной
катастрофы, о которых можно сделать четыре гипотезы: ,
,
,
.
Согласно статистике вероятности гипотез составляют

;

;

;

.

Осмотр места катастрофы выявляет, что в её ходе произошло событие A
воспламенение горючего. Условные вероятности события A
при гипотезах ,
,
,
,
согласно той же статистике равны

;

;

;

.

Найти апостериорные вероятности гипотез.

Решение. По формуле Байеса получаем:

.

;

;

.

Пример 5. В учреждении три чиновника готовят копии документов. Первый чиновник () обрабатывает 40% всех форм, второй () – 35%, третий () – 25%. У первого чиновника удельный вес ошибок составляет 0,04, у второго – 0,06, у третьего – 0,03. В конце дня, выбрав случайно один из подготовленных документов, руководитель констатировал, что в нём есть ошибка (событие A).
Пользуясь формулой Байеса, выяснить, какова вероятность, что ошибку допустил первый чиновник, второй, третий.
Решение. Обозначим события и их вероятности:
: {документ подготовил первый чиновник}
: {документ подготовил второй чиновник}
: {документ подготовил третий чиновник}
A: {в документе допущена ошибка}


Событие

0,40

0,04

0,0160

0,36

0,35

0,06

0,0210

0,47

0,25

0,03

0,0075

0,17

Всего

1,00

0,0445

1,00

По формуле Байеса находим:

Итак, вероятность того, что ошибку допустил первый чиновник, составляет 0,36, второй – 0,47, третий – 0,17.

Ссылка на основную публикацию