Более трудные задачи на сложение и умножение вероятностей

В уроке «Действия над вероятностями»
мы познакомились со сложением и умножением вероятностей и простейшими примерами этих действий.
В контрольных работах и на экзамене попадаются и задачи поинтересней (посложнее), в которых
необходимо применять сразу и сложение и умножение вероятностей. На этой странице — решения таких
задач. Как это часто бывает с задачами на нахождение вероятностей, рассматривается урна, в которой находится
сколько-то шаров и из урны вынимается сколько-то шаров, а требуется найти вероятность того, что выбранный
шар — такого-то или иного цвета.

Пример 1. В урне 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны
вынимают (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара
будут белыми.

Решение. Обозначим через a количество белых шаров, а через
b — количество чёрных шаров. По теореме умножения вероятностей

Подставляем в полученную формулу значения количества белых и чёрных шаров
и получаем:

Ответ: вероятность того, что оба шара будут белыми, равна 0,3.

Пример 2. В урне 9 белых и 7 чёрных шаров. Из урны
вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов.

Решение. Событие может появиться в двух несовместных вариантах:
бч и чб. По теремам сложения и умножения вероятностей

Подставляем в полученную формулу значения количества белых и чёрных шаров
и получаем:

Ответ: вероятность того, что шары будут разных цветов, равна 0,525.

Пример 3. В урне 9 белых, 7 чёрных и 6 красных шаров.
Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут
одноцветными.

Решение. Чтобы найти вероятность события A — по крайней мере
два шара будут одноцветными, — перейдём к противоположному
все шары разных цветов:

Отсюда

Подставляем в полученную формулу значения количества шаров и получаем требуемую вероятность:


Попадаются и задачи на умножение вероятностей для нескольких событий.
Поэтому следует привести формулы для вычисления вероятностей нескольких событий. Для
зависимых событий она имеет вид

,

Для независимых событий:

.


Пример 4. Имеется коробка с девятью новыми теннисными
мячами. Для игры берут три мяча. После игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные
от неигранных не отличают. Найти вероятность того, что после трёх игр в коробке не
останется неигранных мячей.

Решение. Событие A может произойти единственным способом:
первый раз, второй и третий из коробки будут вынуты неигранные мячи. Первый раз это
обеспечено. Поэтому

.

Пример 5. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают
одновременно четыре карты. Рассматриваются события:

A — среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновая;

B — среди вынутых карт будет хотя бы одна червонная.

Найти вероятность события C = A + B.

Решение. Переходим к противоположному событию
нет ни бубновой, ни червонной карты:

,

откуда получаем требуемую вероятность суммы событий:

.

Ссылка на основную публикацию