Асимметрия, эксцесс. Вычисление

Вычисление асимметрии и эксцесса позволяет установить симметричность распределения случайной величины относительно Для этого находят третий центральный момент, характеризующий асимметрию закона распределения случайной величины. Если он равен нулю , то случайная величина симметрично распределена относительно математического ожидания Поскольку имеет размерность случайной величины в кубе, то вводят безразмерную величину — коэффициент асимметрии:

коэффициент асимметрии, формула

Центральный момент четвертого порядка используется для определения эксцесса, характеризует плосковершиннисть или гостровершиннисть плотности вероятности Эксцесс вычисляется по формуле

формула, ексцесс

Число 3 вычитается для сравнения отклонения от центрального закона распределения (нормального закона), для которого подтверждается равенство:

Итак, для нормального закона распределения. Если эксцесс положительный то на графике функция распределения остро вершину и для отрицательных значений более пологую. Таким образом можно установить отклонения заданного закона от нормального. Для наглядности при различных значениях асимметрии и эксцесса графики плотности вероятностей изображены на рисунках ниже

асимметрия функции распределения, рисунок

ексцесс функции распределения, рисунок

Приведу Вам один из распространенных примеров.

Пример 1. Дана плотность вероятностей:

плотность вероятностей

Вычислить асимметрию и эксцесс .

Решение. Вычисляем математическое ожидание случайной величины

математическое ожидание

после этого — третий момент инерции

третий момент инерции

третий момент инерции

Поскольку момент нулевой то и асимметрия равна нулю .Следовательно, возможные значения случайной величины симметрично распределены относительно единицы . Для вычисления эксцесса необходимо найти четвертый момент и среднее квадратическое отклонение. .

четвертый момент инерции

По найденным значениям вычисляем дисперсию

дисперсия, вычисления

после нее среднее матиматичне отклонения

среднее матиматичне отклонения, вычисления

Окончательно получим

ексцесс,вычисления

отрицательный эксцесс, что указывает на пологость функции распределения. Сам график функции с найденными величинами приведен на рисунку ниже

график функции распределения, ексцесс

—————————————

Хорошо разберите приведенный пример, все другие подобные. Найти асимметрию и эксцесс довольно легко тем, кто хорошо умеет интегрировать и не спешит при вычислениях.

Ссылка на основную публикацию