Сумма ряда на практике

Вычислить сумму ряда можно только в случае, когда ряд сходится. Если ряд расходится то сумма ряда бесконечна и нет смысла что-то вычислять. Ниже приведены примеры из практики нахождения суммы ряда, которые задавали в Львовском национальном университете имени Ивана Франка. Задания на ряды подобраны так, что условие сходимости выполняется всегда, однако проверку на сходимость мы выполнять будем. Эта и следующие за ней статьи составляют решение контрольной работы по анализе рядов.

Пример 1.4 Вычислить сумму рядов:
а) пример на сумму ряда
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда при номере следующему до бесконечности равна 0
граница общего члена
то данный ряд сходится. Вычислим сумму ряда. Для этого преобразуем общий член, разложив его на простейшие дроби I и II типа. Методика разложения на простые дроби здесь приводиться не будет (хорошо расписана при интегрировании дробей), а лишь запишем конечный вид разложения
раздожение на простые дроби
В соответствии с этим можем сумму расписать через сумму ряда образованного из простейших дробей, а дальше из разницы сумм рядов
сумма ряда
Далее расписываем каждый ряд в явную сумму и выделяем слагаемые (подчеркивание), которые превратятся 0 после сложения. Таким образом сумма ряда упростится к сумме 3 слагаемых (обозначены черным), что в результате даст 33/40.
сумма ряда
На этом базируется вся практическая часть нахождения суммы для простых рядов.
Примеры на сложные ряды сводятся к сумме бесконечно убывающих прогрессий и рядов, которые находят через соответствующие формулы, но здесь такие примеры рассматривать не будем.
б) пример на сумму ряда
Вычисления: Находим границу n-го члена суммы
граница общего члена ряда
Она равна нулю, следовательно заданный ряд сходится и имеет смысл искать его сумму. Если граница отличная от нуля, то сумма ряда равна бесконечности со знаком «плюс» или «минус».
Найдем сумму ряда. Для этого общий член ряда который является дробью превратим методом неопределенных коэффициентов к сумме простых дробей I типа
расписание на простые дроби
Далее по инструкции которая приводилась ранее записываем сумму ряда через соответствующие суммы простейших дробей
сумма ряда
Расписываем суммы и выделяем слагаемые, которые станут равными 0 при суммировании.
сумма ряда
В результате получим сумму нескольких слагаемых (выделенные черным) которая равна 17/6.

Пример 1.9 Найти сумму ряда:
а) пример на сумму ряда
Вычисления: Вычислениям границы
граница общего члена
убеждаемся что данный ряд сходится и можно находить сумму. Далее знаменатель функции от номера n раскладываем на простые множители, а весь дробь превращаем к сумме простых дробей I типа
расзложение на простые дроби
Далее сумму ряда в соответствии с расписанием записываем через два простые
сумма ряда
Ряды записываем в явном виде и выделяем слагаемые, которые после добавления дадут в сумме ноль. Остальные слагаемые (выделенные черным) и представляет собой конечную сумму ряда
сумма ряда
Таким образом, чтобы найти сумму ряда надо на практике свести под общий знаменатель 3 простых дроби.
б) пример на сумму ряда
Вычисления: Граница члена ряда при больших значениях номера стремится к нулю
граница общего члена
Из этого следует что ряд сходится, а его сумма конечна. Найдем сумму ряда, для этого сначала методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда на три простейшего типа
расписание на простые дроби
Соответственно и сумму ряда можно превратить в сумму трех простых рядов
сумма ряда
Далее ищем слагаемые во всех трех суммах, которые после суммирования превратятся в ноль. В рядах, содержащих три простых дроби один из них при суммировании становится равным нулю (выделен красным). Это служит своеобразной подсказкой в вычислениях
сумма ряда
Сумма ряда равна сумме 3 слагаемых и равна единице.

Пример 1.15 Вычислить сумму ряда:
а) пример на сумму ряда

Вычисления: При общем член ряда стремящемся к нулю
граница общего члена
данный ряд сходится. Преобразуем общий член таким образом, чтобы иметь сумму простейших дробей
разложение на простые дроби
Далее заданный ряд, согласно формулам расписания, записываем через сумму двух рядов
сумма ряда
После записи в явном виде большинство членов ряда в результате суммирования станут равны нулю. Останется вычислить сумму трех слагаемых.
сумма ряда
Сумма числового ряда равна —1/30.
б) пример на сумму ряда
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда равна нулю,
граница общего члена
то ряд сходится. Для нахождения суммы ряда разложим общий член на дроби простейшего типа.
расписание на простые дроби
При разложении использовали метод неопределенных коэффициентов. Записываем сумму ряда из найденного расписание
сумма ряда
Следующим шагом выделяем слагаемые, не вносящие никакого вклада в конечную сумму и остальные оставшиеся
сумма ряда
Сумма ряда равна 4,5.

Пример 1.25 Вычислить сумму рядов:
а) пример на сумму ряда
Вычисления: Находим границу общего члена ряда
граница общего члена
Поскольку она равна нулю то ряд сходится. Можем найти сумму ряда. Для этого по схеме предыдущих примеров раскладываем общий член ряда через простейшие дроби
расписание на простые дроби
Это позволяет записать ряд через сумму простых рядов и, выделив в нем слагаемые, упростив при этом суммирование.
сумма ряда
В этом случае останется одно слагаемое которое равен единице.
б) пример на сумму ряда
Вычисления: Находим границу общего члена ряда
граница общего члена
и убеждаемся что ряд сходится. Далее общий член числового ряда методом неопределенных коэффициентов раскладываем на дроби простейшего типа.
расписание на простые дроби
Через такие же дроби расписываем сумму ряда
сумма ряда
Записываем ряды в явном виде и упрощаем к сумме 3 слагаемых
сумма ряда
Сумма ряда равна 1/4.
На этом ознакомление со схемами суммирования рядов завершено. Здесь еще не рассмотрены ряды, которые сводятся к сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, содержащие факториалы, степенные зависимости и подобные. Однако и приведенный материал будет полезен для студентов на контрольных и тестах.

Ссылка на основную публикацию