Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций на практике

Задачи на разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена очень важны в курсе высшей математики при приближенном вычислении значений функций в определенных точках, приближении производных в точках, сложных пределах. Поэтому внимательно разберитесь с приведенным ниже материалом. Начнем с основных определений.
Рядом Тейлора для функции f(x) при условии, что она определена в окрестности точки a, а также ее конечные производные любого порядка называется ряд вида


Пусть сумма ряда задана формулой

тогда формула Тейлора имеет вид

называют остаточным членом формулы Тейлора.
Бесконечно дифференцируема функция f(x) на интервале разлагается в ряд Тейлора только в случаях, когда на этом интервале выполняется условие

При нулевом значении формула Тейлора превращается в ряд Маклорена:

РАСПИСАНИЕ В РЯД МАКЛОРЕНА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

———————————————

Пример 1. Развить в ряд Тейлора функцию (9.293)

по степеням

Решение. Разложение по степенях множителя следует понимать, как расписание в точке Вычислим значения функции и ее производных в этой точке




Подставляем полученные значения в ряд Тейлора

Упрощенно ряд можно записать в виде суммы

Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Деламбера



Из условия находим область сходимости

Исследуем границы интервала. При значении ряд

превращается в гармоничный со знаком минус. Этот ряд расходится. При получим знакопочережний ряд вида

который убывает.
Таким образом, областью сходимости ряда является . Исследуя остаточный член ряда

формулы Тейлора для данной функции, убеждаемся, что в заданном интервале ряд совпадает и остаточный член ряда существенного вклада при больших не вносит.

———————————————

Пример 2. Развить в ряд Маклорена функцию (9.305)

Решение. Воспользовавшись первой из формул расписания элементарных функций, получим

Умножая на , получим расписание заданной функции в виде такого ряда

или в упрощенной форме

По признаку Деламбера найдем область сходимости ряда

То есть, радиусом сходимости будет интервал .
На этом знакомство с темой подходит к концу. Больше материалов Вы найдете в категории «Ряды».

Ссылка на основную публикацию