Ряды — сходимость, сумма, расписание функции в ряды Маклорена и Фурье

Готовые ответы контрольных или индивидуальных работ, в частности по теории рядов любят все студенты, особенно когда качественно объяснены вычисления. Приведенные ниже задачи задавали во Львовском национальном университете имени Ивана Франка. Готовых задач по рядам здесь достаточно, чтобы подготовиться к контрольной или тестам.
Задача: 1.3 Найти сумму ряда
а)
Решение: Сначала выполняем проверку ряда на сходимость

Граница общего члена ряда равна нулю, следовательно данный ряд сходится. Если Вы получите границу отличную от нуля, хотя и конечную то такой ряд будет расходящимся, а его сумма равна плюс или минус бесконечности. То есть такие ряды не убывают. На экзаменах, как правило, такие примеры не встречаются, однако на тестах возможно все. Поэтому прежде чем переходить к суммирования ряда проверяйте его на сходимость.
Напрямую Вы сумму этого ряда (из дробей) оценить не сможете, единственный выход разложить знаменатель общего члена ряда на простые множители, а дальше методом неопределенных коэффициентов сам дробь свести к разнице простых дробей

Это позволит свести вычисления суммы ряда к отысканию разности двух рядов

Если последние расписать в явном виде то всегда получите, что большинство слагаемых при исчислении даст ноль (подчеркнуты). Остальные оставшиеся (выделенные черным) и является искомой суммой ряда

Теперь Вы на шаг ближе, чтобы самостоятельно найти сумму ряда.

б) вычислить сумму ряда

Решение: Нахождением границы

убеждаемся, что она равна 0, а заданный ряд сходящийся.
Далее методом неопределенных коэффициентов раскладываем общий член ряда на простые дроби

Это позволяет перейти от исчисления суммы одного сложного ряда к суммированию троих простых рядов

Ряды записываем в явном виде и выделяем слагаемые, которые взаимоуничтожаются при суммировании

Подсказкой служит тот факт, что члены одного из рядов (выделен красным) в конечную сумму никакого вклада не внесут. Также для удобства вычислений записывайте ряды друг под другом. Для чего это нужно Вы можете видеть из этого примера.

Задача: 2.4 Исследовать сходимость рядов:
а)
Решение:Заданный ряд имеет положительные члены, поэтому можем исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера:

Записываем члены ряда, фигурирующие в пределе

и подставляем в формулу Даламбера


При исчислении предела большинство ошибок у студентов возникает при росписи факториалов, поэтому хорошо изучите свойства факториалов.
Поскольку предел меньше единицы A = 0 <1 то данный ряд сходящийся!

б) ряд
Решение:Исследовать на сходимость ряд будем по признаку Даламбера. Для этого записываем формулы общего члена ряда и последующего после него

Далее подставляем их в предел и, насколько это возможно, упрощаем его



При исчислении один из множителей равен второму замечательному пределу — экспоненте.
Поскольку предел меньше единицы Lim=A = 2/3 <1 то делаем вывод о сходимости ряда.

Задача: 3.5 Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов
а) ряд
Решение: Заданный функциональный ряд может при определенных значениях переменной принимать отрицательные значения, поэтому для исследования сходимости ряда по признаку Даламбера

составим ряд с модулей членов заданного ряда

Записываем общий и следующий после него члены ряда из модулей

и подставляем их в предел
предел
Расписав факториалы и степенные зависимости придем к зависимости которая не ограничена. Предел равен бесконечности, следовательно функциональный ряд расходится (по теореме Даламбера) при всех действительных значениях переменной .
Это означает что радиус сходимости равен нулю R = 0, а область сходимости пустое множество .
б)
Решение: Составим ряд из модулей членов заданного ряда:
,
а дальше выполняем исследования ряда на сходимость по теореме Даламбера.
Находим предел доли старшего к младшему члену функционального ряда

Согласно теореме Даламбера ряд совпадает для переменных, которые удовлетворяют условие
.
Раскрывая модуль находим область сходимости ряда область сходимости ряда и записываем радиус сходимости R=2.

Задача: 4.6 Найти разложение дробной функции в ряд по степеням x:

Решение: Разложим функцию методом неопределенных коэффициентов на сумму простых дробей, а дальше превратим знаменатели, чтобы иметь удобный запись для расписания

Функцию f(x) разложим в ряд по степеням x воспользовавшись формулами Маклорена для степенных функций:



В конце группируем слагаемые при одинаковых степенях «икс» и записываем разложение функции одним рядом.

Задача: 5.7 Найти разложение арктангенса в ряд по степеням x:
арктангенс
Решение: Для расписания арктангенса применим следующую методику. Сначала найдем производную сложной функции от арктангенса
производная арктангенса
Разложим производную арктангенса в ряд по степеням x, используя формулы Маклорена

Чтобы получить разложение арктангенса в ряд интегрируем производную. Учитывая что f(0)=arctg(2), получим ряд по степеням x заданной функции f(x):



Последний переход к ряду не так очевиден, однако для знакопеременного ряда именно такие зависимости получают в ответах.

Задача: 6.8 Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье:

Схема разложения в ряд Фурье подробно расписана в предыдущих статьях. Здесь интегрированием определяем коэффициенты Фурье



Далее согласно формулам для заданной функции составляем разложение в ряд Фурье

В конечном раскладе функции коэффициенты Фурье для нечетных и четных индексов объединили в один. В этом, как и в интегрировании вся сложность разложения функции в тригонометрический ряд. Вот такие задачи по теории рядов Вам придется решать на контрольной или экзаменах. Если сомневаетесь в собственных силах, то мы поможем Вам сдать сессию.

Ссылка на основную публикацию