Ряды Фурье с примерами решений

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида

a0/2 + a1cosx + b1sinx + a2cos2x + b2sin2x + … + ancosnx + bnsinnx + …

где числа a0, a1, b1, a2, b2, …, an, bn, … —
коэффициенты Фурье.

Более сжатая запись ряда Фурье с символом «сигма»:

.

Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда, в ряде Фурье вместо простейших функций
взяты тригонометрические функции

1/2, cosx, sinx, cos2x, sin2x, …, cosnx, sinnx, ….

Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

,

,

.

Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π.
Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π.

Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π.
Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π, π],
то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм,
является периодической функцией с периодом 2π.

Вышеупомянутое свойство видно на графике внизу: здесь график суммы ряда для функции f(x) = x.
Вне отрезка [-π, π] сумма ряда является периодическим продолжением данной функции: график функции бесконечно повторяется справа и слева.

Пусть функция F(x), определённая на всей
числовой прямой и периодическая с периодом 2π, является
периодическим продолжением функции f(x), если на
отрезке [-π, π] имеет место F(x) = f(x)

Если на отрезке [-π, π] ряд Фурье
сходится к функции f(x), то он сходится на всей числовой прямой
к её периодическому продолжению.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f(x) и её производная
f ‘ (x) — непрерывные на отрезке [-π, π]
или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции
f(x) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой
точке x, принадлежащей отрезку [-π, π],
в которой f(x) непрерывна, сумма ряда равна
f(x), а в каждой точке x0
разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f(x) справа и слева:

,

где
и .

На концах отрезка [-π, π]
сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода
разложения:

.

В любой точке x, принадлежащей отрезку [-π, π],
сумма ряда Фурье равна F(x), если
x — точка непрерывности F(x),
и равна среднему арифметическому пределов F(x) слева и справа:

,

если x — точка разрыва F(x), где F(x) — периодическое продолжение f(x).

Пример 1. Периодическая функция f(x)
с периодом 2π определена следующим образом:

Проще эта функция записывается как f(x) = |x|.
Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.

Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:

Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.

Пример 2. Дана периодическая функция с периодом 2π:

Определить коэффициенты Фурье.

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пусть функция f(x) определена на
отрезке [-π, π] и является чётной, т. е.
f(- x) = f(x). Тогда её
коэффициенты bn равны нулю. А для
коэффициентов an верны следующие формулы:

,

.

Пусть теперь функция f(x),
определённая на отрезке [-π, π], нечётная, т.е.
f(x) = — f( — x).
Тогда коэффициенты Фурье an равны нулю,
а коэффициенты bn определяется формулой

.

Как видно из формул, выведенных выше, если функция f(x) чётная,
то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию
.

Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты
Фурье , а
чтобы найти ,
нужно вычислить определённый интеграл:

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого
.
В точках
сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями
функции ,
а равна .
Вне отрезка
сумма ряда является периодическим продолжением функции
, её
график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию
.

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты
Фурье , а
чтобы найти ,
нужно вычислить определённые интегралы:

Получаем ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого
, так как
в точках
сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями
функции ,
поскольку .

Пример 5. Разложить в ряд Фурье с периодом
2l функцию f(x), которая
на отрезке [— l, l] задаётся формулой
.

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициент
Фурье , а
чтобы найти ,
нужно вычислить определённые интегралы:

Ряд Фурье данной функции:

.

Это равенство справедливо для любого
, а это
значит, что ряд сходится на всей числовой прямой.

Пример 6. Разложить в ряд Фурье с периодом 4
периодическую функцию ,
.

Посмотреть правильное решение и ответ.