Радикальный признак Коши сходимости рядов в примерах

  • Радикальный признак Коши: как применять
  • Задачи на радикальный признак Коши

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.

Радикальный признак Коши: как применять

Радикальный признак Коши, часто называемый просто признаком Коши, так же, как и
признак сравнения, признак Даламбера
и интегральный признак Коши, является достаточным
признаком сходимости рядов. Исследование ряда с помощью этого признака даёт
однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Если, конечно, использование этого
признака обосновано.

Радикальный признак Коши применяется, когда выражение общего члена находится в
степени, зависящей от n. Например, .

Для использования радикального признака Коши нужно уметь уверенно находить
пределы.

Теорема (радикальный признак Коши). Пусть существует предел
корня n-й степени из общего члена ряда:

.

Тогда

  • если предел меньше единицы (), то ряд сходится,
  • если предел больше единицы (), то ряд расходится,
  • если же предел равен единице (), то ничего определённого о сходимости ряда сказать нельзя: радикальный признак Коши здесь не годится и нужно использовать другой признак.

Задачи на радикальный признак Коши

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применяем радикальный признак Коши — находим предел корня n
степени из общего члена ряда. Вспоминаем правило преобразования в степень корня n-й степени из выражения
под корнем — в полученном выражении степень выражения под корнем делится на степень корня:

Так как полученный предел меньше единицы (),
данный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применяем радикальный признак Коши — находим предел. В полученном после
преобразования в степень корня n-й степени из выражения
под корнем n делится на n, поэтому сразу получаем подкоренное выражение в первой степени:

Так как полученный предел меньше единицы (),
данный ряд сходится.

Применить радикальный признак Коши самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 4. Выяснить, сходится или расходится ряд

Решение. Применяем радикальный признак Коши — находим предел:

Так как предел меньше единицы (),
то по радикальному признаку Коши данный ряд сходится.

Пример 5. Выяснить, сходится или расходится ряд

Решение. Применяем радикальный признак Коши — находим предел:

Так как предел больше единицы (),
то по радикальному признаку Коши данный ряд расходится.

Применить радикальный признак Коши самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Выяснить сходимость ряда

Посмотреть правильное решение и ответ.


Пример 7. Выяснить, сходится или расходится ряд

Решение. Применяем радикальный признак Коши — находим предел:

Так как предел меньше единицы (),
то по радикальному признаку Коши данный ряд сходится.

  • Числовые ряды
  • Признак сравнения рядов
  • Признак Даламбера сходимости рядов
  • Радикальный признак Коши сходимости рядов
  • Интегральный признак Коши сходимости рядов
  • Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница
  • Функциональные ряды
  • Степенные ряды
  • Ряды Фурье
Ссылка на основную публикацию