Признак Даламбера сходимости ряда

Исследование сходимости рядов является важным с точки зрения их оценки и необходимым в случае вычисления суммы ряда. Признаков сходимости рядов несколько, популярный и достаточно прост в применении для рядов с положительными членами — признак сходимости Даламбера. Ниже будет разобран ряд примеров на установление сходимости ряда по признаку Даламбера, советую для себя взять максимум полезного.
Напомним что предпосылками для применения признака Даламбера служит наличие степенной зависимости (2, 3, a в степени n) или факториалов в формуле общего члена ряда. Будет это знаменатель или числитель дроби совсем не имеет значения, важно что имеем подобную зависимость, ну или факториал и степенную зависимость в одном наборе. С факториалами у многих на первых порах возникают проблемы но с практикой Вы заметете что ничего сложного в факториалах нет. Надо только расписать факториал подробно до тех пор когда в числителе или знаменателе дроби поучим одинаковые множителе. На словах это звучит не всем понятно, но следующие примеры помогут Вам в этом разобраться. Ну и самые сложные примеры предполагают наличие комбинаций факториалов и степенных зависимостей, два или более факториала, тоже и для степенной фунции, всевозможные цепочки множителей и другие каверзные комбинации. Ниже приведены базовые примеры с которых и начинается практика проверки сходимости ряда по Даламберу.

Пример: 2.5 Исследовать сходимость рядов
а) ряд
Вычисления: Поскольку данный ряд имеет положительные члены то исследовать его на сходимость можем с помощью признака Даламбера:
признак Даламбера
Если А<1 ряд сходящийся, А>1 — ряд расходящийся и при A=0 следует использовать другие признаки сходимости рядов.
Записываем общий член ряда и следующий, идущий после него
член ряда
член ряда
И находим границу их доли
сходимость по Даламберу
Поскольку граница бесконечна то по признаку Даламбера ряд расходящийся. Если искать суму ряда то она будет бесконечная.
б) ряд
Вычисления: Члены ряда положительные поетому исследуем на сходимость по признаку Даламбера — записываем формулы последовательных членов ряда
члены ряда
И находим предел отношения следующего члена к предыдущему при n стремящемуся к бесконечности
сходимость по Даламберу
Граница равна нулю так как показатель стремится к бесконечности, а в скобках имеем значение меньше единицы.
По теореме Даламбера A = 0 <1 ряд сходится!

Пример: 2.8 Исследовать ряды на сходимость:
а) ряд
Вычисления: Как Вы уже убедились все примеры которые здесь рассматриваются следует проверять по признаку Даламбера.
В результате упрощения придем ко второму замечательному пределу — экспоненте
сходимость по Даламбером
В общем граница меньше единицы следовательно ряд сходится.

б) ряд
Вычисления: Для проверки на сходимость ряда по признаку Даламбера вычисляем предел
сходимость по Даламбером
Предел равен 0 (A = 0 <1) следовательно ряд сходится!

Пример: 2.14 Исследовать ряд на сходимость
а) ряд

Вычисления: Находим предел следующего члена ряда к предыдущему
сходимость ряда по Даламберу
Для удобства чтения формул следующий член ряда выделенный в формулах черным цветом. Хорошо разберитесь как делить факториал на факториал, как показывает статистика множество неверных ответов Вы у Вас выходит в примерах с факториалами.
По признаку Даламбера ряд сходится.
б) ряд
Вычисления: Записываем формулу общего члена ряда и последовавшего за ним
член рядачлен ряда
Подставляем их в формулу Даламбера и вычисляем предел
сходимость по Даламберу
Граница равна нулю 0 <1, а это значит что данный ряд сходящийся.

Пример: 2.16 Исследовать ряд на сходимость:
а) ряд
Вычисления: По признаку Даламбера проверяем границу общего члена ряда на ограниченность
проверка на сходимость ряда
Превратив множители в числителе и знаменателе дроби сведем функцию в скобках ко второму замечательному пределу
проверка на сходимость ряда
Поскольку граница меньше единицы

то согласно теореме Даламбера ряд сходящийся.
б) ряд
Вычисления: Задан числовой степенной ряд с положительными членами. Найдем предел отношения последующего члена ряда к предыдущему
проверка сходимости ряда
При исчислении границы считаю все моменты Вам понятны, если нет то Вам нужно прочесть статьи с категории «предел функций».
Получили предел меньше единицы,

следовательно ряд сходится за Даламбером .

Пример: 2.26 Исследовать сходимость ряда:
а) ряд
Вычисления: Для применения признака Даламбера выпишем общий член ряда и последующий за ним
член ряда
член ряда
Далее подставим их и найдем предел дроби
проверка сходимости ряда
Предел равен A = 3/2> 1, а это значит что данный ряд расходящийся.

б) ряд
Вычисления: Записываем два последовательных члены положительного ряда
член ряда
член ряда
Находим границу для оценки сходимости ряда по теореме Даламбера.
проверка на сходимость ряда
В ходе вычислений получим второй замечательный предел (экспоненту) как в числителе, так и в знаменателе. Результирующая граница больше единицы , следовательно делаем вывод о расхождении ряда.

Ссылка на основную публикацию