Приближенные вычисления — ряды Тейлора и Маклорена

Задачи на вычисление значения функций в окрестности нуля, или иной точки очень важны в математике и без специальных калькуляторов или программ найти их значение трудно. В помощь студентам, инженерам и другим специалистам приходят ряды Тейлора. Функцию раскладывают в ряд, отбирают несколько первых членов, которые вносят наибольший вклад и обеспечивают достаточную точность вычислений. После этого находят значение в заданной точке.
Рассмотрим примеры применений рядов Тейлора к приближенным вычислениям.

———————————————

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,0001

1)
2) (9.331)
3) (9.333)
4) (9.333)

Решение. 1) Запишем заданную функцию в удобном виде

Воспользуемся формулой разложения в ряд Тейлора

и выпишем несколько членов ряда при степенях аргумента

В результате получим значение

Согласно записанной выше формуле, умножаем полученное число на 2

2)
Воспользуемся разложением синус функции в окрестности нуля

Заданное выражение перепишем в следующей форме

и подставим в формулу

Взяв только два члена ряда получаем достаточно хорошую сходимость. И такая сходимость бывает не всегда. Чем дальше отдаляемся от точки в которой развит ряд, тем больше членов разложения нужно брать для точности результата.

3)
Выпишем разложение логарифма около единицы

В данном случае подставим и просуммируем несколько членов ряда

Точный результат равный

Для обеспечения сходимости с точностью 0,0001 нужно брать больше членов ряда

Получили хорошую сходимость, но пришлось брать пять членов разложения в ряд. Это связано с тем что точка в которой искали приближенное значение находится далеко от точки разложения ряда.

4)
Пусть имеем разложение арксинуса возле нуля

Точное значение будет следующим

Взяв два члена ряда

получим хорошую сходимость.
По аналогии с прведенными примерами поступаем и для ряда других функций.

Ссылка на основную публикацию