Определение числового ряда и его сходимости

Пусть задана бесконечная последовательность чисел Бесконечная сумма чисел вида — называется числовым рядом, а числа -членами ряда.

Ряд обозначают так:

Выражение для — го члена ряда при произвольном натуральном >0 , называется общим членом ряда и обозначается .

Общий член ряда можно задать формулой, помощью которой записывается произвольный член ряда.

Сумму первых его членов обозначают через :

и принято называть -ой частичной суммой ряда.

Частичные суммы ряда образуют некоторую числовую последовательность его частичных сумм . Ряд называется совпадающим, если совпадает последовательность его частичных сумм , то есть если существует збежная граница

Число при этом называют суммой ряда и записывают

При этом считают также что ряд стремитса к числу.

Если последовательность частичных сумм ряда разбегается то ряд называется разбежным. В этом случае ряд не имеет суммы.

Ряд составленный из элементов геометрической прогрессии называется геометрическим рядом:

Число — знаменатель геометрической прогрессии.

Обозначим через сумму первых членов прогрессии и найдем ее значение:

Отсюда получаем

Если, то

геометрический ряд збегается.

Если, то

Если, то

Если , то

таким образом, последовательность — разбежная.

Ряд вида

называется гармоническим рядом и являеться разбежним.

Числовой ряд вида

называется обобщенным гармоническим рядом. Доказано, что при обобщенный гармонический ряд разбегается, а при -ряд сходится.

Если ряд совпадает, то разница между суммой и частичной его суммой

называется -м остатком ряда.

Остаток ряда являет собой ту погрешность которая получится, если вместо приближенного значения суммы ряда взять сумму первых членов этого ряда. Но поскольку ето граница суммы, то для совпадающего ряда выполняется

Таким образом взяв достаточно большое число членов совпадающего ряда можно сумму этого ряда вычислить с большой точностью. Отсюда выплывает что основной задачей теории рядов является исследование сходимости ряда.

{jcomments off}

 

Ссылка на основную публикацию